大师作文网关于二重积分轮换对称性问题
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 17:04:56
关于二重积分轮换对称性问题
对于一般Dxy关于y轴对称如：x^2+y^2≤1,∫∫x^2+y^2dxdy,我把x换为-x,y不动,得到∫∫x^2+y^2d-xdy=-∫∫x^2+y^2dxdy,则∫∫x^2+y^2dxdy=0,显然不对啊!为什么?
基本的x,y互换,积分区域不变被积函数不变的轮换对称性我知道,刚听了一个老师的课,他说,这是基于积分与用什么字母表示无关,然后举了一个例子Dxy：|x|+|y|≤1,I=∫∫sin（x^3+y^3）dxdy这道题用将x换为-x,y换为-y,的轮换方法,I=∫∫sin（（-x）^3+（-y）^3）d-xd-y=-∫∫sin（x^3+y^3）dxdy,所以I=0
对于一般Dxy关于y轴对称如：x^2+y^2≤1,∫∫x^2+y^2dxdy,我把x换为-x,y不动,得到∫∫x^2+y^2d-xdy=-∫∫x^2+y^2dxdy,则∫∫x^2+y^2dxdy=0,显然不对啊!为什么?
基本的x,y互换,积分区域不变被积函数不变的轮换对称性我知道,刚听了一个老师的课,他说,这是基于积分与用什么字母表示无关,然后举了一个例子Dxy：|x|+|y|≤1,I=∫∫sin（x^3+y^3）dxdy这道题用将x换为-x,y换为-y,的轮换方法,I=∫∫sin（（-x）^3+（-y）^3）d-xd-y=-∫∫sin（x^3+y^3）dxdy,所以I=0
不是这样的,
1
对于Dxy是关于y轴对称的区域,满足∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-x, y)dxdy
（所以如果f(x,y)是个关于x的奇函数的话,f(-x, y)= -f(x,y)
所以∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-x, y)dxdy= -∫∫f(x, y)dxdy
得到∫∫f(x,y)dxdy=0）
2
如果Dxy是关于y=x对称的区域,那么∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(y, x)dxdy
（所以如果积分函数满足f(y,x)= -f(x,y),就能得出∫∫f(x,y)dxdy=0）
3
如果Dxy是关于y=-x对称,那么∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-y, -x)dxdy
4
关于Dxy是原点对称的区域,那么∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-x, -y)dxdy
再问： 这些轮换是不是基于"积分值与用何字母表示无关",为什么后面的dxdy都不用换成d-xd-y，是约掉了么？否则您说的第一种情况如果单纯只换一个字母后面dx不是换成d-x了么
再答： 不是的，
dxdy只是表示面积的积分符号，
二重积分和三重积分的对称性，只跟积分区域和积分函数有关。
在第二类曲线积分和第二类曲面积分的对称性中，才会用到dx dy dz算子的轮换。。
http://baike.baidu.com/view/2463126.htm?fr=aladdin
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对于Dxy是关于y轴对称的区域,满足∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-x, y)dxdy
（所以如果f(x,y)是个关于x的奇函数的话,f(-x, y)= -f(x,y)
所以∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-x, y)dxdy= -∫∫f(x, y)dxdy
得到∫∫f(x,y)dxdy=0）
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如果Dxy是关于y=x对称的区域,那么∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(y, x)dxdy
（所以如果积分函数满足f(y,x)= -f(x,y),就能得出∫∫f(x,y)dxdy=0）
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如果Dxy是关于y=-x对称,那么∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-y, -x)dxdy
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关于Dxy是原点对称的区域,那么∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-x, -y)dxdy
再问： 这些轮换是不是基于"积分值与用何字母表示无关",为什么后面的dxdy都不用换成d-xd-y，是约掉了么？否则您说的第一种情况如果单纯只换一个字母后面dx不是换成d-x了么
再答： 不是的，
dxdy只是表示面积的积分符号，
二重积分和三重积分的对称性，只跟积分区域和积分函数有关。
在第二类曲线积分和第二类曲面积分的对称性中，才会用到dx dy dz算子的轮换。。
http://baike.baidu.com/view/2463126.htm?fr=aladdin