大师作文网一道关于线性方程组的证明题
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 12:17:57
一道关于线性方程组的证明题
设
是非齐次线性方程组
的一个解,
是对应的齐次线性方程组
的一个基础解系,证明：
线性无关.
设
是非齐次线性方程组的一个解,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明：线性无关.
为了打字方便,用n0代表AX=b的解,s1,s2,s3代表AX=0的基础解.
我们设k1×n0+k2×(s1+n0)+k3×(s2+n0)+k4×(s3+n0)=0.①,
只要证明k1=k2=k3=k0=0即可.
将①转换为(k1+k2+k3+k4)×n0 + k2×s1+k3×s2+k4×s3=0.②
两边同时乘以A,得到(k1+k2+k3+k4)An0+ k2×As1+k3×As2+k4×As3=0
由于An0=b,As1=As2=As3=0,所以有(k1+k2+k3+k4)b=0,
即k1+k2+k3+k4=0 .③
将③代入②,得到k2×s1+k3×s2+k4×s3=0,由于s1,s2,s3为AX=0的基础解,所以s1,s2,s3线性无关
根据定义得到 k2=0,k3=0,k4=0 .④
结合③,④,得到k1=k2=k3=k4=0
我们设k1×n0+k2×(s1+n0)+k3×(s2+n0)+k4×(s3+n0)=0.①,
只要证明k1=k2=k3=k0=0即可.
将①转换为(k1+k2+k3+k4)×n0 + k2×s1+k3×s2+k4×s3=0.②
两边同时乘以A,得到(k1+k2+k3+k4)An0+ k2×As1+k3×As2+k4×As3=0
由于An0=b,As1=As2=As3=0,所以有(k1+k2+k3+k4)b=0,
即k1+k2+k3+k4=0 .③
将③代入②,得到k2×s1+k3×s2+k4×s3=0,由于s1,s2,s3为AX=0的基础解,所以s1,s2,s3线性无关
根据定义得到 k2=0,k3=0,k4=0 .④
结合③,④,得到k1=k2=k3=k4=0