若函数f(x)=(a-3)x-ax 3 在区间[-1 ,1]上的最小值等于-3,则实数a的取 值范围是
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/29 17:26:10
若函数f(x)=(a-3)x-ax 3 在区间[-1 ,1]上的最小值等于-3,则实数a的取 值范围是
【分析】
由函数f(x)=(a-3)x-ax³在区间[-1,1]上的最小值等于-3,由函数解析式先求其导函数,进而可判断函数在区间[-1,1]上的单调性,从而可求函数的最小值,即可.
由函数f(x)=(a-3)x-ax³求导函数为:
f′(x)=-3ax²+(a-3)
①当a=0时
f(x)=-3x
此时函数在定义域内单调递减
所以函数的最小值为:
f(1)=-3,符合题意
所以a=0符合题意;
②当a≠0时
f‘(x)=0
即:3ax²=a-3
(I)当0<a≤3时
f′(x)=-3ax²+(a-3)为开口向下的二次函数
且△=12a(a-3)≤0,f‘(x)≤0恒成立
所以函数f(x)在定义域上为单调递减函数
函数的最小值为f(1)=-3,此时符合题意;
(II)当a<0或a>3时
f′(x)=0
即:3ax²=a-3
解得:
x=±√[(a-3)/3a]
①当-√[(a-3)/3a]≥-1
且√[(a-3)/3a]≤1
即:a≤-3/2时
函数f(x)
在[-1,-√[(a-3)/3a]]上单调递增
在[-√[(a-3)/3a],√[(a-3)/3a]] 上单调递减
在[√[(a-3)/3a],1]上单调递增
所以此时函数在定义域的最小值为:
f(-1)=-3
或
f(-√[(a-3)/3a])=[√(a-3)/3a]×[2-(2a/3)]
令
f(-√[(a-3)/3a])>-3
解得:
a∈φ
② 当-√[(a-3)/3a]<-1
且√[(a-3)/3a]>1
即-3/2≤a≤12时
函数在定义域上始终单调递减
则函数在定义域上的最小值为:
f(1)=-3,符合题意.
综上所述:
当-3/2≤ a≤12 时符合题意
即实数a的取值范围是-3/2≤ a≤12.
由于公式复杂,怕你看不明白,特截图详细解题步骤如下:
由函数f(x)=(a-3)x-ax³在区间[-1,1]上的最小值等于-3,由函数解析式先求其导函数,进而可判断函数在区间[-1,1]上的单调性,从而可求函数的最小值,即可.
由函数f(x)=(a-3)x-ax³求导函数为:
f′(x)=-3ax²+(a-3)
①当a=0时
f(x)=-3x
此时函数在定义域内单调递减
所以函数的最小值为:
f(1)=-3,符合题意
所以a=0符合题意;
②当a≠0时
f‘(x)=0
即:3ax²=a-3
(I)当0<a≤3时
f′(x)=-3ax²+(a-3)为开口向下的二次函数
且△=12a(a-3)≤0,f‘(x)≤0恒成立
所以函数f(x)在定义域上为单调递减函数
函数的最小值为f(1)=-3,此时符合题意;
(II)当a<0或a>3时
f′(x)=0
即:3ax²=a-3
解得:
x=±√[(a-3)/3a]
①当-√[(a-3)/3a]≥-1
且√[(a-3)/3a]≤1
即:a≤-3/2时
函数f(x)
在[-1,-√[(a-3)/3a]]上单调递增
在[-√[(a-3)/3a],√[(a-3)/3a]] 上单调递减
在[√[(a-3)/3a],1]上单调递增
所以此时函数在定义域的最小值为:
f(-1)=-3
或
f(-√[(a-3)/3a])=[√(a-3)/3a]×[2-(2a/3)]
令
f(-√[(a-3)/3a])>-3
解得:
a∈φ
② 当-√[(a-3)/3a]<-1
且√[(a-3)/3a]>1
即-3/2≤a≤12时
函数在定义域上始终单调递减
则函数在定义域上的最小值为:
f(1)=-3,符合题意.
综上所述:
当-3/2≤ a≤12 时符合题意
即实数a的取值范围是-3/2≤ a≤12.
由于公式复杂,怕你看不明白,特截图详细解题步骤如下:
若函数f(x)=(a-3)x-ax 3 在区间[-1 ,1]上的最小值等于-3,则实数a的取 值范围是
若函数f(x)=ax^2-2ax+3a-4在区间(-1,1)上有零点,则实数a的取值范围
若函数f(x)=x^3-3x在区间(a,6-a^2)上有最小值,则实数a的取值范围是
函数f(x)=3x-x3在区间(a2-12,a)上有最小值,则实数a的取值范围是______.
已知函数f(x)=sqr(3-ax)/(a-1) (a1),若f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是?
函数f(x)=3x-x³在区间(a²-12,a)上有最小值,则实数a的取值范围
已知函数f(x)=根号3x-ax在区间(0,1)上是减函数,则实数a的取值范围是?
若函数f(x)=1/3x^3-1/2ax^2+(a-1)x在区间(1,4)上为减函数,则实数a的取值范围是?
若函数f(x)=loga(x^2-ax+3)在区间(负无穷,0.5a]上为减函数,则实数a的取值范围是?
若函数f(x)=x+3ax+2在区间(a,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是 ___ .
函数f(x)=3x-x³在区间(a²-12,a)上有最小值,则实数a的取值范围是?要完整过程?
已知函数f(x)=x^3-ax^2-x+6在区间(0,1)上为减函数 则实数a的取值范围