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对于函数y=f(x),若存在区间[a,b],当x∈[a,b]时,f(x)的值域为[ka,kb](k>0),则称y=f(x

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/11 19:21:12
对于函数y=f(x),若存在区间[a,b],当x∈[a,b]时,f(x)的值域为[ka,kb](k>0),则称y=f(x)为k倍值函数.若f(x)=lnx+x是k倍值函数,则实数k的取值范围是______.
对于函数y=f(x),若存在区间[a,b],当x∈[a,b]时,f(x)的值域为[ka,kb](k>0),则称y=f(x
∵f(x)=lnx+x,定义域为{x|x>0},f(x)在定义域为单调增函数,
因此有:f(a)=ka,f(b)=kb,即:lna+a=ka,lnb+b=kb,即a,b为方程lnx+x=kx的两个不同根.
∴k=1+
lnx
x,令 1+
lnx
x=g(x),令 g'(x)=
1−lnx
x2=0,可得极大值点x=e,故g(x)的极大值为:g(e)=1+
1
e,
当x趋于0时,g(x)趋于-∞,当x趋于∞时,g(x)趋于1,
因此当1<k<1+
1
e 时,直线y=k与曲线y=g(x)的图象有两个交点,方程 k=1+
lnx
x 有两个解.
故所求的k的取值范围为(1,1+
1
e),
故答案为 (1,1+
1
e).