大师作文网求极限 中科大版数学分析上p201 1
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 10:56:04
求极限 中科大版数学分析上p201 1
设 f(x)=lim n^x( (1+1/（n+1）)^(n+1) -(1+1/n)^n ),求f(x)的定义域和值域
n—>∞
设 f(x)=lim n^x( (1+1/（n+1）)^(n+1) -(1+1/n)^n ),求f(x)的定义域和值域
n—>∞
定义域就是使得极限值存在的地方.
括号里面＝e^【(n+1)*ln(1+1/(n+1))】－e^(n*ln(1+1/n))
＝e^((n+1)*(1/(n+1)－1/2(n+1)^2+1/3(n+1)^3+小o(1/n^3))
－e^(n*(1/n－1/2n^2+1/3n^3+小o(1/n^3)) 提出e
＝e*【e^(－1/2(n+1)+1/3(n+1)^2+小o(1/n^2))－e^(－1/2n+1/3n^2+小o(1/n^2))】
上式利用e^x=1+x+x^2/2+小o(x^2)并保留1/n^2的项有
＝e*{【1－1/2(n+1)+1/3(n+1)^2+1/4(n+1)^2+小o(1/n^2)】
－【1－1/2n+1/3n^2+小o(1/n^2)+1/4n^2】}
＝e*(1/2n－1/2(n+1)+小o(1/n^2))
＝e/(2n(2n+2))+小o(1/n^2)
因此当x=2时,极限是e/4,
当x
括号里面＝e^【(n+1)*ln(1+1/(n+1))】－e^(n*ln(1+1/n))
＝e^((n+1)*(1/(n+1)－1/2(n+1)^2+1/3(n+1)^3+小o(1/n^3))
－e^(n*(1/n－1/2n^2+1/3n^3+小o(1/n^3)) 提出e
＝e*【e^(－1/2(n+1)+1/3(n+1)^2+小o(1/n^2))－e^(－1/2n+1/3n^2+小o(1/n^2))】
上式利用e^x=1+x+x^2/2+小o(x^2)并保留1/n^2的项有
＝e*{【1－1/2(n+1)+1/3(n+1)^2+1/4(n+1)^2+小o(1/n^2)】
－【1－1/2n+1/3n^2+小o(1/n^2)+1/4n^2】}
＝e*(1/2n－1/2(n+1)+小o(1/n^2))
＝e/(2n(2n+2))+小o(1/n^2)
因此当x=2时,极限是e/4,
当x