帮我做一下矩阵的题吧设M 是2x2对称的实数矩阵.其两个特征值λ0和λ1,1)如果其两个特征值均为正,证明,对于任何二维

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/11 00:54:39

帮我做一下矩阵的题吧
设M 是2x2对称的实数矩阵.其两个特征值λ0和λ1,
1)如果其两个特征值均为正,证明,对于任何二维向量x,0≤xTMx≤ (max(λ0,λ1))xTx.2)如果一个特征值为0,证明存在不为0的向量x,满足Mx = 0.3)如果特征值一负一正,证明存在不为0的向量x,满足xTMx = 0 4)如果对于任何x,有xTMx>0,则称M是正有限矩阵,如果M是对称的、实数的、且是正有限矩阵,那么其特征值有什么特点?

定义二元函数f(x)=x^{T}Mx,则易知它是连续的
1）存在正交阵A,使得A^{T}MA=diag{λ0,λ1},对所有的二维向量x,由A的可逆性,存在二维向量y,满足Ay=x,则f(x)=f(Ay)=x^{T}A^{T}MAx=λ0x1^{2}+λ1x2^{2}≤ (max(λ0,λ1))(x1^{2}+x2^{2})= (max(λ0,λ1))xTx
2)取0的特征向量即可
3)不妨设λ00,则取λ0的特征向量x0和λ1的特征向量x1,并且不妨设原点不在x0与x1的连线上,有f(x0)=x0^{T}Mx0=λ0x0^{T}x00,则由二元连续函数的零点存在定理,可知存在不为0的向量x,使得f(x)=x^{T}Mx=0.
4）M实对称阵,对于任何x,有x^{T}Mx>0,说明M是正定阵,从而它的特征值全大于0

帮我做一下矩阵的题吧设M 是2x2对称的实数矩阵.其两个特征值λ0和λ1,1)如果其两个特征值均为正,证明,对于任何二维特征值均为实数的正交矩阵为对称矩阵证明实对称矩阵的特征值是实数怎么证明对称矩阵的所有特征值全是实数怎么证明对称矩阵的所有特征值之和大于等于其最大特征值对于实对称矩阵或可相似对角化的矩阵,其秩就是非零特征值的个数（其中n重根以n个记）,如果0不是该矩阵的特征值,此矩阵满秩线性代数题目A为3阶实对称矩阵,属于特征值1的特征向量为(1,-1,1)还有另外两个特征值2,-3.求另外两个特征向量. 1、证明对称矩阵是正定矩阵的充要条件是它的特征值都是正数! 特征值性质λ^m是矩阵A^m的特征值如何证明? 关于实对称矩阵为什么说实对称矩阵的特征值全是实数?比如,A=1 1 0 1 0 1 0 1 1的特征值是（λ-1）（λ- 设A是n阶实对称矩阵,证明：（1）A的特征值全是实数；（2）若A为正定矩阵,则A^2也是正定矩阵若A是幂零矩阵,如何证明其特征值为0?若A为幂等矩阵,如何证明其特征值只能为0或1?