大师作文网2道高等代数题
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/18 19:11:17
2道高等代数题
1.事实上这四个条件都是等价的
(a) Imσ = Imσ^2
(b) dim Imσ = dim Imσ^2
(c) V = Kerσ + Imσ
(d) V = Kerσ (+) Imσ
由于 Imσ 包含 Imσ^2,显然 (a) (b)
(d) => (c) 也是显然的,(c) => (d) 只需利用 dim Imσ + dim Kerσ = n = dim(Imσ + Kerσ) 即可
所以需要小心证明的只是 (a,b) 和 (c,d) 之间的等价性
先证 (a) => (c),任取 x∈V,σ(x)∈Imσ = Imσ^2,所以存在 y∈V 使得 σ(x)=σ^2(y),然后 x = [x-σ(y)] + σ(y),容易验证 x-σ(y)∈Kerσ
再证 (c) => (a),任取 x∈Imσ,存在 y∈V 使得 x=σ(y),而 y 又可以表示成 y=u+v 的形式,其中 u∈Kerσ,v=σ(z)∈Imσ,所以 x = σ[u+σ(z)] = σ^2(z) ∈ Imσ^2.
2.假定你考虑的是复多项式.
显然 f(x)=0 仅有的常数解
如果 f(x) 不是常数,那么有唯一的因子分解 f(x) = k(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n),不妨要求Re a_1
(a) Imσ = Imσ^2
(b) dim Imσ = dim Imσ^2
(c) V = Kerσ + Imσ
(d) V = Kerσ (+) Imσ
由于 Imσ 包含 Imσ^2,显然 (a) (b)
(d) => (c) 也是显然的,(c) => (d) 只需利用 dim Imσ + dim Kerσ = n = dim(Imσ + Kerσ) 即可
所以需要小心证明的只是 (a,b) 和 (c,d) 之间的等价性
先证 (a) => (c),任取 x∈V,σ(x)∈Imσ = Imσ^2,所以存在 y∈V 使得 σ(x)=σ^2(y),然后 x = [x-σ(y)] + σ(y),容易验证 x-σ(y)∈Kerσ
再证 (c) => (a),任取 x∈Imσ,存在 y∈V 使得 x=σ(y),而 y 又可以表示成 y=u+v 的形式,其中 u∈Kerσ,v=σ(z)∈Imσ,所以 x = σ[u+σ(z)] = σ^2(z) ∈ Imσ^2.
2.假定你考虑的是复多项式.
显然 f(x)=0 仅有的常数解
如果 f(x) 不是常数,那么有唯一的因子分解 f(x) = k(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n),不妨要求Re a_1