构造康托尔集的时候,挖掉的开区间为什么是可数个?

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/16 19:14:15

构造康托尔集的时候,挖掉的开区间为什么是可数个?
如题,课本上说挖掉的开区间个数是可数的.每挖掉一个开区间,剩下的闭区间就多一个.而剩下的闭区间可以和二进制实数一一对应,是不可数的.为什么挖掉的却是可数的?

定理：若G是R中的开集,则G是至多可数个两两不相交的开区间的并（教材上有证明）
设G是所有挖掉的开区间的并,显然,G是其每一点的邻域,所以G是开集
且根据挖掉这些开区间的方法,这些开区间是两两不相交的
综上所述,这些组成G的所有开区间的个数是至多可数个
又因为已知这些开区间是可以无限挖下去的,所以是无限的
所以挖掉的个数是可数个
再问： 1、“设G是所有挖掉的开区间的并，显然，G是其每一点的邻域，所以G是开集。” 这里不懂。G为什么是开集。 2、我知道教材上应该是对的，但是不知道我的想法错在哪。
再答： 1、对任意x∈G=∪{挖掉的开区间} 必定存在一个被挖掉的开区间T，使得x∈T 不妨设这个开区间T=(a,b) a

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