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设f(x)具有二阶连续导数,且f′(0)=0,limx→0f″(x)|x|=1,则(  )

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/10 18:35:08
设f(x)具有二阶连续导数,且f′(0)=0,
lim
x→0
f″(x)
|x|
=1
设f(x)具有二阶连续导数,且f′(0)=0,limx→0f″(x)|x|=1,则(  )
首先,由 f′(0)=0 可知,x=0 为 f(x) 的一个驻点,为判断其是否为极值点,仅需判断 f″(x) 的符号.
因为
lim
x→0
f″(x)
|x|=1,由等价无穷小的概念可知,
lim
x→0f″(x)=0.
因为f(x)具有二阶连续导数,且
lim
x→0
f″(x)
|x|=1>0,由极限的保号性,存在δ>0,对于任意 0<|x|<δ,都有
f″(x)
|x|>0,从而有 f″(x)>0.
从而,对于任意x∈[-δ,δ],都有 f″(x)≥0.由函数极值的判定定理可知,f(0)是极小值. 故 (B)正确,排除(A),(D).
由于 f″(x)≥0,故由拐点的定义可知,(0,f(0))不是 y=f(x) 的拐点,排除(C).
正确答案为(B).