大师作文网请问一道数学二次函数应用题
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/19 22:13:15
请问一道数学二次函数应用题
已知：抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图像经过点（1,0),一条直线y=ax+b,它们的系数之间满足以下关系:a>b>c.
（1）求证：抛物线与直线一定有两个不同的交点；
（2）设抛物线与直线的两个交点为A.B,过A.B分别作x轴的垂线,垂足分别为A1.B1.令k=c/a,试问：是否存在实数k,使线段A1B1的长为4倍根号2.如果存在,求出k的值；如果不存在,请说明理由.(要写清楚过程）
已知：抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图像经过点（1,0),一条直线y=ax+b,它们的系数之间满足以下关系:a>b>c.
（1）求证：抛物线与直线一定有两个不同的交点；
（2）设抛物线与直线的两个交点为A.B,过A.B分别作x轴的垂线,垂足分别为A1.B1.令k=c/a,试问：是否存在实数k,使线段A1B1的长为4倍根号2.如果存在,求出k的值；如果不存在,请说明理由.(要写清楚过程）
证明：(1)
因为抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图像经过点（1,0)
所以a+b+c=0,所以a=-b-c
由ax²+bx+c=ax+b得ax²+（b-a)x+c-b=0得
△=(b-a)²-4a*(c-b)=[b-(-b-c)]²-4(-b-c)(c-b)=(2b+c)²+4(b+c)(b-c)
=4c(b+c)
因为a>b>c,a+b+c=0所以a>0,c＜0,a=-b-c>0得（b+c）＜0
所以△>0,则抛物线与直线一定有两个不同的交点.
（2))答：存在
设A1.B1两点的横坐标为X1,X2,为且A1.B1得横坐标和A,B的横坐标相同,则
|A1B1|²=（X1-X2)²=（X1+X2)²-4X1X2由违达定理及（1）可知
=[-（b-a)/a]²-4(c-b)/a,又由b=-a-c得
=（2+c/a)²-4(1+2c/a)²,由k=c/a得
（2+k)²-4(1+2k)=32
有(k-8)(k+4)=32,得k=8或k=-4.因为a>0,c＜0,所以k=-4
因为抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图像经过点（1,0)
所以a+b+c=0,所以a=-b-c
由ax²+bx+c=ax+b得ax²+（b-a)x+c-b=0得
△=(b-a)²-4a*(c-b)=[b-(-b-c)]²-4(-b-c)(c-b)=(2b+c)²+4(b+c)(b-c)
=4c(b+c)
因为a>b>c,a+b+c=0所以a>0,c＜0,a=-b-c>0得（b+c）＜0
所以△>0,则抛物线与直线一定有两个不同的交点.
（2))答：存在
设A1.B1两点的横坐标为X1,X2,为且A1.B1得横坐标和A,B的横坐标相同,则
|A1B1|²=（X1-X2)²=（X1+X2)²-4X1X2由违达定理及（1）可知
=[-（b-a)/a]²-4(c-b)/a,又由b=-a-c得
=（2+c/a)²-4(1+2c/a)²,由k=c/a得
（2+k)²-4(1+2k)=32
有(k-8)(k+4)=32,得k=8或k=-4.因为a>0,c＜0,所以k=-4