大师作文网数集A满足:若a属于A,a≠1,则1-a分之一属于A.证明：集合A中至少有三个不同的元素 要证明
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/17 07:14:51
数集A满足:若a属于A,a≠1,则1-a分之一属于A.证明：集合A中至少有三个不同的元素 要证明
因为A是数集,所以A不为空
由题知,
a∈A,a≠1
则1/(1-a)∈A
若A为单元素集{a}
则a=1/(1-a) ,即a²-a+1=0,无解
所以A不为单元素集
若A为双元素集{a,1/(1-a)}
则由1/(1-a)∈A,1/(1-a)≠1
知(-1+a)/a∈A
即a=(-1+a)/a,即a²-a+1=0,无解
所以,A不为双元素集
若A为三元素集
A{a,1/(1-a),(-1+a)/a}
由(-1+a)/a∈A,(-1+a)/a≠1
知a∈A,成立
如{2,-1,1/2}
综上所述,集合A中至少有三个不同的元素
由题知,
a∈A,a≠1
则1/(1-a)∈A
若A为单元素集{a}
则a=1/(1-a) ,即a²-a+1=0,无解
所以A不为单元素集
若A为双元素集{a,1/(1-a)}
则由1/(1-a)∈A,1/(1-a)≠1
知(-1+a)/a∈A
即a=(-1+a)/a,即a²-a+1=0,无解
所以,A不为双元素集
若A为三元素集
A{a,1/(1-a),(-1+a)/a}
由(-1+a)/a∈A,(-1+a)/a≠1
知a∈A,成立
如{2,-1,1/2}
综上所述,集合A中至少有三个不同的元素
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