（2014•尤溪县质检）如图1，已知矩形ABCD，E为AD边上一动点，过A，B，E三点作⊙O，P为AB的中点，连接OP，

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：综合作业时间：2024/11/10 22:44:07

（2014•尤溪县质检）如图1，已知矩形ABCD，E为AD边上一动点，过A，B，E三点作⊙O，P为AB的中点，连接OP，
（1）求证：BE是⊙O的直径且OP⊥AB；
（2）若AB=BC=8，AE=6，试判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，若AB=10，BC=8，⊙O与DC边相交于H，I两点，连结BH，当∠ABE=∠CBH时，求△ABE的面积．

（1）如图1，
∵矩形ABCD，∴∠A=90°，∴BE为直径，
∴OE=OB，
∵AP=BP，
∴OP∥AE，AE=2PO，
∴∠OPB=∠A=90°，
即OP⊥AB．

（2）此时直线CD与⊙O相切．
理由：如图1，延长PO交CD于M，
在Rt△ABE中，AB=8，AE=6，
则BE²=6²+8²=100，
∴BE=10，
∴此时⊙O的半径r=5，∴OM=r=5，
∵在矩形APMD中，PM=AD=8，
∴OM=PM-OP=5=r，
∴直线CD与⊙O相切．

（3）如图2，

【方法I】
∵BE为直径，
∴∠EHB=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∵∠C=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠2=∠4，
∴当∠1=∠2时，有
tan∠1=tan∠2=tan∠4，
设AE=x，CH=y，则DE=8-x，DH=10-y，
∴
x
10=
y
8=
8−x
10−y，
解得，x=20，或x=5，
∵AE=x＜8，∴x=20，不合题意，舍去，取AE=x=5，
Rt△ABE的面积=
1
2AE×AB=
1
2×5×10=25．
【方法II】如图3，延长PO交CD于点F，连接OH，

在矩形FPBC，OP⊥AB，且FC=PB=
1
2AB=5，
OP=
1
2AE，OF=8-
1
2AE，BE=2HO，
当∠ABE=∠CBH时，设tan∠ABE=tan∠CBH=k时，
在Rt△ABE中，则AE=10tan∠ABE=10k，
在Rt△HBC中，则HC=8tan∠ABE=8k，
∴OP=5k，OF=8-5k，FH=5-8k，
在Rt△ABE中，BE²=AE²+AB²=100（1+k²），
在Rt△OFH中，HO²=FH²+OF²=（5-8k）²+（8-5k）²，
∵BE=2HO，∴BE²=4 HO²
∴100（1+k²）=4[（5-8k）²+（8-5k）²]，
整理得，2 k²-5k+2=0，
解得，k=2，或k=
1
2，
当k=2时，AE=10k=20＞8，不合题意，舍去；
当k=
1
2时，AE=10k=5＜8，符合题意，
此时，Rt△ABE的面积=
1
2AE×AB=
1
2×5×10=25．

（2014•尤溪县质检）如图1，已知矩形ABCD，E为AD边上一动点，过A，B，E三点作⊙O，P为AB的中点，连接OP，如图,已知正方形ABCD的边长为1,E为CD边的中点,P为ABCD边上的一动点.动点P从A点出发,沿A---B---C- 初中的一道几何题,如图,ABCD为矩形,P为AD中点,过A ,B,P三点的圆O交BC于E 连ED 作PF⊥ED于F (1 已知,如图2,矩形ABCD中,AB=5,AD=3,E是CD上一动点,连接AE,过点B作BF⊥AE,垂足为F. 如图,正方形abcd中,ab等于1,bc为圆o的直径,设ad边上有一动点p,bp交圆o于点f,cf的延长线交ab于点e, 如图,已知正方形ABCD的边长是1,E是CD边上的中点,P为BC边上的一动点如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10.点E为线段BC上一动点,线段AE与以AD为直径的⊙O相交于点F,连接DF. （2013•海淀区二模）如图1，四边形ABCD中，AC、BD为它的对角线，E为AB边上一动点（点E不与点A、B重合），E 已知,如图,直角坐标系内的矩形ABCD,顶点A的坐标为（0,3）,BC=2AB,P为AD边上一动点（与点A、D不重合）, 如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,点E为线段BC上一动点,线段AE与以AD为直径的圆O交与点F连接DF 】如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点（P异于A、D）, 以知:如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=3,E是CD上一动点(不与C、D重合)连接AE,过点B做BF⊥AE,垂足为F