大师作文网一道有关函数的高三数学题
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 00:59:43
希望老师重点讲解每个小问，主要讲清楚为什么对，为什么错，多谢！
解题思路： 考查指数函数、分式函数的性质和运算、函数图象的对称中心的寻找方法。
解题过程：
解：① ∵ 对任意实数x，总有
， 从而，
，
即
总有意义， ∴ 函数
的定义域为R，正确；
② 由指数函数的性质可知，
，
，
，
，
即 函数的的值域为
， 可见， ②是错误的；
③ ∵
是关于x的减函数， 且：
计算可知
，
∴ 存在唯一的
， 使得 
， 即 
，
∴ 方程
有唯一解（直接看下面的图象也可以）， 可见，③是正确的；
④ 由是减函数，且值域是， 可知
如果的图象确实是中心对称图形的话，则它的对称中心的纵坐标必为
，
设对称中心的横坐标为a， 即 对称中心的坐标为
（如果有的话），
我们设一对“对称点”的坐标为
， 则 
，
而
，
使
成立的一个条件是
， 即
，
∴
，
可见，函数的图象确实存在对称中心
． 可见④是正确的。
综上所述，正确命题的序号是：①③④．
最终答案：①③④
解题过程：
解：① ∵ 对任意实数x，总有
， 从而，，即
总有意义， ∴ 函数的定义域为R，正确；② 由指数函数的性质可知，
，，，，即 函数
的的值域为， 可见， ②是错误的；③ ∵
是关于x的减函数， 且：计算可知
，∴ 存在唯一的
， 使得 ， 即 ，∴ 方程
有唯一解（直接看下面的图象也可以）， 可见，③是正确的；④ 由
是减函数，且值域是， 可知如果
的图象确实是中心对称图形的话，则它的对称中心的纵坐标必为，设对称中心的横坐标为a， 即 对称中心的坐标为
（如果有的话），我们设一对“对称点”的坐标为
， 则 ，而
，使
成立的一个条件是， 即，∴
，可见，函数
的图象确实存在对称中心． 可见④是正确的。综上所述，正确命题的序号是：①③④．
最终答案：①③④