6根草,握住中间,只见两头,要把它连成一个圈,问其概率

6根草,握住中间,只见两头,要把它连成一个圈,问其概率

其实,我们可以先引入一个问题：班上6位同学,两两组成“三互”（注：互帮互学互教）组,有多少种组合呢?方法一（如下图所示）：第一次,让同学A出列,与他配对的,有5位,即C(5,1)；第二次,除非2位配对的同学,只有4位了,让一位出列,与他配对的,有3位,即C(5,1)；第三次,除非4位配对的同学,让一位出列,与他配对的,只有1位了,即C(5,1).所以,组合数N＝C(5,1)×C(3,1)×C(1,1)＝15种.方法二：第一步,对6位同学全排列；第二步,从前往后,每2个组成成一组；第三步,排除重复数.举个例子,对于组合（AB）（CD）（EF）来说,它可以由各对内部组合后,去除括号的排列组合,如AB CD EF,BA CD EF,BA DC EF,BA DC FE等这样排列组成,即这种情况重复了2×2×2次,它也可以由各对调换顺利后,去除括号的排列组成,如（CD）（AB）（EF）,（CD）（EF）（AB）等去除括号后的排列,可以生成（AB）（CD）（EF）组合,即这种情况重复了P(3,3)次.所以,组合数N＝P(6,6)/2/2/2/P(3,3)＝15种.方法三（也是最容易迷惑人的方法）：第一步,先取2位同学,即C(6,2),第二步,再从剩下的4位同学中取2位,即C(4,2),第三步,从剩下的2位同学中取2位,即C(2,2).到这儿,不仔细琢磨,就出结果,那就错了.问题的关键是,这样组合,有重复吗?答案是肯定有!重复在哪儿呢?这需要我们认真思考一下.其实,这与第二种方法在计算各对调换顺利,产生的重复原因是一样的.具体地说吧,你第一步取（AB）,第三步取（CD）,第三步取（EF）,这种取法,与先取（CD）,再取（AB）,最后取（EF）,不还是得到（AB）（CD）（EF）的组合嘛.明白了吗?所以,组合数N＝C(6,2)×C(2,2)×C(2,2)/P(3,3)＝15种.现在回过头来说说6根草问题吧.对于头或者尾而言,两两相接的组合数都是NH=NT=C(5,1)×C(3,1)×C(1,1),所以,头尾分别两两相接的所有可能总数为N=NH×NT,把它们作为基本事件的全体.再考虑相接后成环的情况,先把6个头两两相接,有C(5,1)×C(3,1)×C(1,1)种结法,然后再考虑6个尾的相接,在6个头相接的每一种两两相接的接法中,两个头相接的尾就不能相接,而其中一个尾只能与其他4个尾相接,而另一个尾只能再与其他的两个尾相接（如下图所示).因此,恰巧连成一个环的种数为n=C(5,1)×C(3,1)×C(1,1)×４×２.这样,放开手后6根草恰巧连接一个环的概率P=n/N＝｛(C(5,1)×C(3,1)×C(1,1)×４×２｝/｛C(5,1)×C(3,1)×C(1,1)×C(5,1)×C(3,1)×C(1,1)｝＝8/15.百度上看的,看看明白不!