已知函数f（x,y）在（0,0）的某个邻域内连续lim（x,y）趋于（0,0）f（x,y）-xy/（x^2+y^2）

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/12 10:24:52

直观上,条件说明f(x,y)在原点和xy很接近.但是原点只是xy的鞍点,于是原点也不是f(x,y)的极值点.严格写下来是这样:∵lim{(x,y) → (0,0)} (f(x,y)-xy)/(x²+y²)² = 1,∴对ε = 1,存在δ > 0,使得当|x| < δ,|y| < δ时,有0 = 1-ε < (f(x,y)-xy)/(x²+y²)² < 1+ε = 2.即xy < f(x,y) < xy+2(x²+y²)² ①.又由f(x,y)在原点连续,可得f(0,0) = lim{(x,y) → (0,0)} f(x,y) = 0.考虑点列(1/n,1/n),易见n → ∞时(1/n,1/n) → (0,0).当n > 1/δ时,有1/n < δ,代入①的左端得f(1/n,1/n) > 1/n² > 0.因此在原点的任意邻域内存在使f(x,y)取正值的点.再考虑点列(1/n,-1/n),易见n → ∞时(1/n,-1/n) → (0,0).当n > 1/δ且n > 3时,有1/n < δ,代入①的右端得f(1/n,-1/n) < -1/n²+8/n⁴ = (8-n²)/n⁴ < 0.因此在原点的任意邻域内存在使f(x,y)取负值的点.于是原点不为极值点.

已知函数f（x,y）在（0,0）的某个邻域内连续lim（x,y）趋于（0,0）f（x,y）-xy/（x^2+y^2）已知函数f（x，y）在点（0，0）的某个邻域内连续，且limx→0，y→0f(x，y)-xy(x2+y2)2=1，则（求极限lim(xy)^2/(x^2+y^2)^2,(x,y)趋于（0,0）求函数的导数f(x)=3x^2-1 要用这种方法求 f’ (x)= lim△y/△x(△x趋于0）, 设f(x)为可导函数,且满足lim[4+f(1-x)]/2x=-1,x趋于0时,求曲线y=f(x)在点（,f(1)）处的已知f（x）在x=0的某个邻域内连续，且f（0）=0，limx→0f(x)1-cosx=2，则在点x=0处f（x）（已知定义在（0,正无穷）上的函数y=f(x)满足下列条件1f(xy)=f(X)+f(Y) 2若0 求极限(工本高数）lim [2-(xy+4)^(1/2)]/xyx->0y->0证明函数f(x,y)=(x+y)/(x- 设二元函数z=f(x,y)在点P（0,1）的某邻域内可微,且f（x,y+1）=1+2x+3y+0（p）,其中p=√（x^ 描述二元函数Z=f(x,y)在（0,0）点邻域内有定义,连续,偏导数存在,可微四个条件间关系证明二元函数z=f（x,y） =xy/x^2+y^2 x,y≠0 =0 x,y=0 在（0,0）的偏导存在,但是不连续. 求lim（x→0）[(xf'(x))/(2f(x))]^(1/x),其中f(x)在x=0点某邻域内有三阶连续导数,f(0