大师作文网微分在几何意义方面怎么用理解?
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/19 00:02:48
微分在几何意义方面怎么用理解?
书上微分的定义:函设函数y=f（x）在点x处的某领域内有定义，如果对于自变量在点x处的增量Δx，函数值的增量Δy可以写成
Δy=A·Δx＋o(Δx),
其中A与Δx无关，o(Δx)是Δx的高阶无穷小，则称y=f（x）在点x处可微
书上微分的定义:函设函数y=f（x）在点x处的某领域内有定义，如果对于自变量在点x处的增量Δx，函数值的增量Δy可以写成
Δy=A·Δx＋o(Δx),
其中A与Δx无关，o(Δx)是Δx的高阶无穷小，则称y=f（x）在点x处可微
所有引号内的词语都表示直观形象但是可能不严谨的叙述
五角星★内的是关键点
假定函数可微,在此基础上叙述“形象的理解”
如果你在函数图像上间隔固定的x轴距离Δx取点,就可以得到一组离散的点.可以把这些点之间用线段连起来,这样这函数图象就变成了一条“折线”.当减小这个固定距离的时候,点就会越来越密.折线“看起来”就会越来越像函数“真正的样子”.直观理解,如果这个固定距离“变成”“无穷小”,那么这折线就会“变成”函数图象“原本的样子”.
（很遗憾,下面一段有图就很好理解.但知道上没有图,只能用繁琐抽象的文字叙述了,希望你有耐心看完,并不复杂,只是要耐心看.打这么多字也不容易）
我们现在在这些折线的点中任选两个相邻的作为我们关注的对象.这两个点的x轴坐标分别为x0和x0+Δx.现在我们在x0点作一条切线g(x) = A x + B.A是切线的斜率（很明显,函数在x0点的这个斜率A只和这个点x0有关,如果x0固定了,它自然就是固定的常量了.而Δx是我们另外引入的一个量,两者当然无关）.当从x0点到x0+Δx时,切线也有个增量Δg(x) = g(x0 + Δx) - g(x0) = A Δx,而对应的f(x)的增量Δy = f(x0 + Δx) - f(x0).我们知道函数的增量计算很麻烦,往往是非线性的.那么能不能将其“化为”我们容易理解的,线性的呢?★也就是说,我们想用切线的增量来近似代替函数的真正增量Δy.★那么这必然就有一个误差o(Δx) = Δf(x) - Δg(x) = Δy - A Δx.如果这个误差o(Δx) 是“可控的”,也就是说它比切线的增量A Δx “小若干个数量级”（高阶无穷小）,以至于“几乎不影响A Δx的值”.从而我们可以安全的“忽略误差”,这时我们就可以“安全地”用A Δx 来“代替”函数实际的增量Δy,并称其为函数在x0点处的微分.
再问： 什么是“函数图像上间隔固定的x轴距离Δx取点”
再答： 例如，从x = 0.5开始，间隔1，那么就是x = 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5 ……
五角星★内的是关键点
假定函数可微,在此基础上叙述“形象的理解”
如果你在函数图像上间隔固定的x轴距离Δx取点,就可以得到一组离散的点.可以把这些点之间用线段连起来,这样这函数图象就变成了一条“折线”.当减小这个固定距离的时候,点就会越来越密.折线“看起来”就会越来越像函数“真正的样子”.直观理解,如果这个固定距离“变成”“无穷小”,那么这折线就会“变成”函数图象“原本的样子”.
（很遗憾,下面一段有图就很好理解.但知道上没有图,只能用繁琐抽象的文字叙述了,希望你有耐心看完,并不复杂,只是要耐心看.打这么多字也不容易）
我们现在在这些折线的点中任选两个相邻的作为我们关注的对象.这两个点的x轴坐标分别为x0和x0+Δx.现在我们在x0点作一条切线g(x) = A x + B.A是切线的斜率（很明显,函数在x0点的这个斜率A只和这个点x0有关,如果x0固定了,它自然就是固定的常量了.而Δx是我们另外引入的一个量,两者当然无关）.当从x0点到x0+Δx时,切线也有个增量Δg(x) = g(x0 + Δx) - g(x0) = A Δx,而对应的f(x)的增量Δy = f(x0 + Δx) - f(x0).我们知道函数的增量计算很麻烦,往往是非线性的.那么能不能将其“化为”我们容易理解的,线性的呢?★也就是说,我们想用切线的增量来近似代替函数的真正增量Δy.★那么这必然就有一个误差o(Δx) = Δf(x) - Δg(x) = Δy - A Δx.如果这个误差o(Δx) 是“可控的”,也就是说它比切线的增量A Δx “小若干个数量级”（高阶无穷小）,以至于“几乎不影响A Δx的值”.从而我们可以安全的“忽略误差”,这时我们就可以“安全地”用A Δx 来“代替”函数实际的增量Δy,并称其为函数在x0点处的微分.
再问： 什么是“函数图像上间隔固定的x轴距离Δx取点”
再答： 例如，从x = 0.5开始，间隔1，那么就是x = 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5 ……