三角恒等式证明设有△ABC,其面积为S,三边长分别为a,b,c求证：tan(A/2)tan(B/2)tan(C/2)

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/17 05:08:51

三角恒等式证明
设有△ABC,其面积为S,三边长分别为a,b,c
求证：
tan(A/2)*tan(B/2)*tan(C/2)=4S/[(a+b+c)^2]
这个问题有一定难度

就是麻烦
看到半角和a+b+c,S,一定会用到内切圆半径,及其面积公式
结合正弦定理,消除a,b,c等,转换到纯三角函数关系式证明上去
由于没有进行整理,直接按照这个思路推倒的,估计还可以化简
你再去研究吧
利用角平分线
三角形内切圆半径r
r/tanA/2+r/tanB/2=c,(c*tanA/2*tanB/2)/(tanA/2+tanB/2)=r
r=(b*tanA/2*tanC/2)/(tanA/2+tanC/2)=(atanB/2tanC/2)/(tanB/2+tanC/2)
S=0.5r(a+b+c)
r^3=abc(tanA/2tanB/2tanC/2)^2/(tanA/2+tanB/2)(tanB/2+tanC/2)(tanC/2+tanA/2)
(2S)^3(tanA/2+tanB/2)(tanB/2+tanC/2)(tanC/2+tanA/2)/[abc*(a+b+c)^3]
=(tanA/2tanB/2tanC/2)^2
欲证原等式成立,即证以下等式成立：
2S^2(tanA/2+tanB/2)(tanB/2+tanC/2)(tanC/2+tanA/2)/abc(a+b+c)=Z
=tanA/2tanB/2tanC/2
tanA/2+tanB/2=(sinA/2cosB/2+sinB/2cosA/2)/cosA/2cosB/2
=sin(A/2+B/2)/cosA/2cosB/2=cosC/2/cosA/2cosB/2
(tanA/2+tanB/2)(tanB/2+tanC/2)(tanC/2+tanA/2)
=1/cosA/2cosB/2cosC/2
S^2=0.25ab^2csinCsinA=abc*bsinA/2cosA/2sinC/2cosC/2
Z=(2bsinA/2sinC/2)/[(a+b+c)cosB/2]
=4sinA/2sinB/2sinC/2)/(sinA+sinB+sinC)
进一步,只要证明：
4cosA/2cosB/2cosC/2=sinA+sinB+sinC
sinA+sinB+sinC
=2[sin(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)+sinC/2cosC/2]
=2cosC/2[cos(A/2-B/2)+cos(A/2+B/2)]
=4cosA/2cosB/2cosC/2
以上步步可逆,所以
tan(A/2)tan(B/2)tan(C/2)=4S/[(a+b+c)^2]成立

三角恒等式证明设有△ABC,其面积为S,三边长分别为a,b,c求证：tan(A/2)*tan(B/2)*tan(C/2) 几何中的三角恒等式求证在直角三角形中tan(A/2)tan(B/2)+tan(A/2)tan(C/2)+tan(B/2) 解三角型已知三角形ABC的三个内角为A,B,C,所对的三边为a,b,c,若面积为S=a^2-(b-c)^2,则tan(C 在△ABC中,证明tan（A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)= △ABC的三边长分别为a.b.c,其面积为S,内切圆半径为r,求证r=2s/A+B+C 请证明:在三角形ABC中,有tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan( 在三角形ABC中,求证:(a+b)/(b-c)=tan((A+B)/2)/tan((A-B)/2)? 如何证明(a+b)/(b-c)=tan[(a+b)/2]/tan[(a-b)/2] 在△ABC中,已知A、B、C成等差数列,求tan(A/2)+tan(C/2)+√3tan(A/2)tan(C/2)的值在△ABC中已知A,B,C成等差数列,求tan(A/2)+tan(C/2)+(√3)tan(A/2)tan(C/2)的值在三角形ABC中,已知三边abc成等差数列,求证：tan(A/2)tan(C/2)=1/3 角B等于多少? 已知三角形ABC中,角A,B,C分别为对边a,b,c.若三角形的面积S=a^2-(b-c)^2,求tan(A/2)的值