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已知数列An的前N项和为Sn,且A1=1 An+1=1/3Sn,N为正整数.

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/06 06:00:07
已知数列An的前N项和为Sn,且A1=1 An+1=1/3Sn,N为正整数.
(1)求A2 A3 A4的值及通项公式
(2)求A2+A4+A6+……+A(2n)的和
已知数列An的前N项和为Sn,且A1=1 An+1=1/3Sn,N为正整数.
(1)
A1=1
A2=1/3*S1=1/3*A1=1/3
A3=1/3*S2=1/3*(A1+A2)=4/9
A4=1/3*S3=1/3*(A1+A2+A3)=16/27
A(n+1)=1/3Sn
=>Sn=3*A(n+1)
=>An=Sn-S(n-1)=3(A(n+1)-A(n)
=>A(n+1)=4/3*An
=>An=A1*(4/3)^(n-1)=(4/3)^(n-1)
(2)
A2+A4+...+A(2n)=4/3*(A1+A2+...A(2n-1))
=>
S(2n)=A1+A2+..+A(2n)=(1+3/4)*(A2+A4+...+A(2n))
=>A2+A4+..+A(2n)=4/7*S(2n)
=4/7*(1-(4/3)^(2n))/(1-4/3)
=12/7*(4/3)^(2n)-12/7