平面x+2y+3z=0到曲面z=x^2+2y的最短距离怎么求

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/17 15:01:39

可以转化为最优化问题(在曲面上任取一点,求点到平面距离最小),用拉格朗日乘数法
d=|x0+2y0+3z0|/√(1+2²+3²)=|x0+2y0+3z0|/√14
目标函数：min f(x0,y0,z0)=14d²=(x0+2y0+3z0)²
约束条件：g(x0,y0,z0)=x0²+2y0-z0=0
构造拉格朗日函数L(x0,y0,z0,λ)=f(x0,y0,z0)+λg(x0,y0,z0)=(x0+2y0+3z0)²+λ(x0²+2y0-z0)
则
∂L/∂x0=2(x0+2y0+3z0)+2λx0=0
∂L/∂y0=4(x0+2y0+3z0)+2λ=0
∂L/∂z0=6(x0+2y0+3z0)-λ=0
∂L/∂λ=x0²+2y0-z0=0
解得
λ=-2(x0+2y0+3z0)=6(x0+2y0+3z0)=0
x0+2y0+3z0=0
x0=y0=z0=0
min f(x0,y0,z0)=14d²=(x0+2y0+3z0)²=0
d=0
即平面和曲面存在交点(0,0,0),最短距离为0
再问：万分感谢................

平面x+2y+3z=0到曲面z=x^2+2y的最短距离怎么求求平面x+y+z=2与曲面x^2-2y^2+2z^2=1(x,y,z>0)之间的最短距离求原点到曲面(x-y)^2-z^2=1的最短距离. 求原点到曲面z^2=xy+x-y+4的最短距离, 求原点到曲面在z^2=xy+x-y+4的最短距离求椭球面2x^2+4y^2+z^2=4到平面2x+2y+z+5=0的最短距离请问求原点到曲面在z^2=xy+x-y+4的最短距离,建立方程L(x,y,z,c)=(x^2+y^2+z^2)^1/2+ 求旋转抛物面z=x²+y²;到平面x+y+z=1的最短距离. 过直线{10x+2y-2z=27,x+y-z=0},做曲面3x*x+y*y-z*z=27的切平面,求此切平面方程求旋转抛物面z=x^2+y^2与平面x+y-2z=2之间的最短距离?（详细）求原点（0.0.0）到（x-y）^2-z^2=1的最短距离抛物面z=x*2+y*2被平面x+y+z=1截得一椭圆,求原点到此椭圆的最长距离和最短距离