大师作文网定积分求求面积这个题目怎么求啊 根本画不出图啊 就完全没有思路 只要有图都是可以求出了的 但现在
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/17 10:09:37
定积分求求面积
这个题目怎么求啊
根本画不出图啊 就完全没有思路 只要有图都是可以求出了的 但现在
这个题目怎么求啊
根本画不出图啊 就完全没有思路 只要有图都是可以求出了的 但现在
求由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱和y=0所围成的图形,绕直线y=2a旋转一周所形成的体积
基于对称性,先求体积之半V/2：摆线一拱的弦长为2πa；t=π时y=2a,即直线y=2a正好在最高点处与摆线相切.中空部分的旋转半径r=2a-y=2a-a(1-cost)=a(1+cost),dx=a(1-cost)；
V/2=一个半径为2a,长度为πa的园柱的体积-中空部分的体积
=4π²a³-【0,π】∫πa²(1+cost)²[a(1-cost)]dt
=4π²a³-【0,π】πa³∫(1+cost)²(1-cost)dt
=4π²a³-【0,π】πa³∫(1-cos²t)(1+cost)dt
=4π²a³-【0,π】πa³∫sin²t(1+cost)dt
=4π²a³-【0,π】πa³[∫sin²tdt+∫sin²tcostdt]
=4π²a³-【0,π】πa³[(1/2)∫(1-cos2t)dt+∫sin²td(sint)]
=4π²a³-【0,π】πa³[(1/2)t-(1/4)sin2t+(1/3)sin³t]
=4π²a³-πa³[π/2]=4π²a³-π²a³/2=7π²a³/2
故全体积V=7π²a³
再问： 你的回答已经非常精彩了 但我自己基础实在太差了对于 x=a(t-sint)，y=a(1-cost) 这两个图形压根不知道怎么画 请你帮忙吧 如果不知道图怎么画 做题不是瞎蒙吗
再答： 摆线就是一个半径为a的园沿x轴作纯滚动时，园上一定点画出的轨迹。由摆线与x轴所包围
的区域就是图上下面那个黄色的部分，当绕直线y=2a旋转一周，就有了上面那黄色的部分，那是个轴向纵剖面图。横坐标轴既是x轴，也是t轴，二者的单位长不一样。半径为a的园转一周，在t轴上正好转过一个π，在x轴上就对应2aπ的长度。图中无色的部分就是旋转体的中空部分。
基于对称性,先求体积之半V/2：摆线一拱的弦长为2πa；t=π时y=2a,即直线y=2a正好在最高点处与摆线相切.中空部分的旋转半径r=2a-y=2a-a(1-cost)=a(1+cost),dx=a(1-cost)；
V/2=一个半径为2a,长度为πa的园柱的体积-中空部分的体积
=4π²a³-【0,π】∫πa²(1+cost)²[a(1-cost)]dt
=4π²a³-【0,π】πa³∫(1+cost)²(1-cost)dt
=4π²a³-【0,π】πa³∫(1-cos²t)(1+cost)dt
=4π²a³-【0,π】πa³∫sin²t(1+cost)dt
=4π²a³-【0,π】πa³[∫sin²tdt+∫sin²tcostdt]
=4π²a³-【0,π】πa³[(1/2)∫(1-cos2t)dt+∫sin²td(sint)]
=4π²a³-【0,π】πa³[(1/2)t-(1/4)sin2t+(1/3)sin³t]
=4π²a³-πa³[π/2]=4π²a³-π²a³/2=7π²a³/2
故全体积V=7π²a³
再问： 你的回答已经非常精彩了 但我自己基础实在太差了对于 x=a(t-sint)，y=a(1-cost) 这两个图形压根不知道怎么画 请你帮忙吧 如果不知道图怎么画 做题不是瞎蒙吗
再答： 摆线就是一个半径为a的园沿x轴作纯滚动时，园上一定点画出的轨迹。由摆线与x轴所包围
的区域就是图上下面那个黄色的部分，当绕直线y=2a旋转一周，就有了上面那黄色的部分，那是个轴向纵剖面图。横坐标轴既是x轴，也是t轴，二者的单位长不一样。半径为a的园转一周，在t轴上正好转过一个π，在x轴上就对应2aπ的长度。图中无色的部分就是旋转体的中空部分。