大师作文网求证明下面的题目 用基本逻辑
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/17 14:03:20
求证明下面的题目 用基本逻辑
1.第一问不是已经给出解法了吗?
给出一个几何方法证明：
根据题意,f的图像为x在[0,1]、y在[0,1]上一条曲线,该曲线至少要满足这样的条件：
a.曲线不可中断；
b.曲线必须和这个正方形的四条边有交点.
而如果任给一个x,f(x) ≠ x,说明f的图像和y = x这条对角线不能相交.
则显然,f的图像要么在正方形左上方三角区域内,要么在右下方三角区域内,显然不能同时满足a.b.两个条件,证毕.
更好看的证明可以用极限语言叙述,最后会发现满足f(x) ≠ x时,必然会与连续性冲突.不知道你们数学怎么上的,有没有叙述过连续性的定义,所以就不给出后边这种证法了.
2.
(1)这一问没什么好证的吧?这是不等式基本性质.
(2)这一问也没什么好证的.用函数单调性就可以证出唯一性.接下来是证明那个跟是个非整数.用反证法可以证.如果那个x^(1/n)是个整数,显然x是个整数,矛盾.
3.
这个照着求导公式算就好了.这只涉及到一元微积分,很容易的.
4.
(1)这一问也很好求吧.
(2)要证明f'(0)存在,也就是求这么一个极限lim[f(x) - f(0)]/x,极限是x趋于0,也就是
limx^2sin(1/x)/x = limxsin(1/x)
后边那个玩意儿有界,前边那个取极限等于0,有界函数乘以一个0极限函数,极限是0,所以f'(0) = 0.
(3)第一问已经求出f'在x≠0的值了,让它趋近于0看一下是否等于0就好了.
【这是一个微积分里构造出来的经典函数,原来那个函数本来在x -> 0处有极限,但是多求几次导之后,由于非三角部分每次求导都会把无穷小量降一阶,求个几次之后就出现坏点了.】
再问： ……我是没看懂第二题（b）的意思能解释下吗 第三题我也没看懂 第一题能用连续定义写出来？
再答： 第一题我又想到了一个更简洁的证明，可以避开连续性定义：
对于函数g(x) = f(x) - x，由已知，可以知道g值域至少包括{0}，而且g连续。由零点定理知，g必有零点，即必存在一个x = c，使得g(c) = f(c) - c = 0。证毕。(b)x = 0的时候易证出。令x > 0，记f(x) = x^(1/n)。f连续可微。且f'(x) = (1/n) x^(1/n - 1)，显然，f'恒正，即f严格单调递增。故而任给一个x，f值唯一。【非整数的证明前边已经说了。】这个应该是求导的基本功吧。我就求一次给你看好了。d/dx {f(3/x) d/dx g(x^4 - 5x)}先把内层d/dx g(x^4 - 5x)给弄出来。d/dx g(x^4 - 5x) = g'(x^4 - 5x) d/dx(x^4 - 5x) = (4x^3 - 5)g'(x^4 - 5x) 所以 d/dx {f(3/x) d/dx g(x^4 - 5x)} = df(3/x)/dx [d/dx g(x^4 - 5x)] + f(3/x) d/dx[d/dx g(x^4 - 5x)] 先看第一个求导部分： df(3/x)/dx = f'(3/x) d/dx(3/x) = -(3/x^2)f'(3/x) 再看第二个求导部分： d/dx[d/dx g(x^4 - 5x)] = d/dx[(4x^3 - 5)g'(x^4 - 5x)] = 12x^2g'(x^4 - 5x) + (4x^3 - 5)^2 g''(x^4 - 5x) 总的结果就是： d/dx {f(3/x) d/dx g(x^4 - 5x)} = -(3/x^2)(4x^3 - 5)f'(3/x)g'(x^4 - 5x) + [12x^2g'(x^4 - 5x) + (4x^3 - 5)^2 g''(x^4 - 5x)]f(3/x) 有个公因式(4x^3 - 5)，可以提取出来，不过也没有多大意义，给它留着算了。
给出一个几何方法证明：
根据题意,f的图像为x在[0,1]、y在[0,1]上一条曲线,该曲线至少要满足这样的条件：
a.曲线不可中断；
b.曲线必须和这个正方形的四条边有交点.
而如果任给一个x,f(x) ≠ x,说明f的图像和y = x这条对角线不能相交.
则显然,f的图像要么在正方形左上方三角区域内,要么在右下方三角区域内,显然不能同时满足a.b.两个条件,证毕.
更好看的证明可以用极限语言叙述,最后会发现满足f(x) ≠ x时,必然会与连续性冲突.不知道你们数学怎么上的,有没有叙述过连续性的定义,所以就不给出后边这种证法了.
2.
(1)这一问没什么好证的吧?这是不等式基本性质.
(2)这一问也没什么好证的.用函数单调性就可以证出唯一性.接下来是证明那个跟是个非整数.用反证法可以证.如果那个x^(1/n)是个整数,显然x是个整数,矛盾.
3.
这个照着求导公式算就好了.这只涉及到一元微积分,很容易的.
4.
(1)这一问也很好求吧.
(2)要证明f'(0)存在,也就是求这么一个极限lim[f(x) - f(0)]/x,极限是x趋于0,也就是
limx^2sin(1/x)/x = limxsin(1/x)
后边那个玩意儿有界,前边那个取极限等于0,有界函数乘以一个0极限函数,极限是0,所以f'(0) = 0.
(3)第一问已经求出f'在x≠0的值了,让它趋近于0看一下是否等于0就好了.
【这是一个微积分里构造出来的经典函数,原来那个函数本来在x -> 0处有极限,但是多求几次导之后,由于非三角部分每次求导都会把无穷小量降一阶,求个几次之后就出现坏点了.】
再问： ……我是没看懂第二题（b）的意思能解释下吗 第三题我也没看懂 第一题能用连续定义写出来？
再答： 第一题我又想到了一个更简洁的证明，可以避开连续性定义：
对于函数g(x) = f(x) - x，由已知，可以知道g值域至少包括{0}，而且g连续。由零点定理知，g必有零点，即必存在一个x = c，使得g(c) = f(c) - c = 0。证毕。(b)x = 0的时候易证出。令x > 0，记f(x) = x^(1/n)。f连续可微。且f'(x) = (1/n) x^(1/n - 1)，显然，f'恒正，即f严格单调递增。故而任给一个x，f值唯一。【非整数的证明前边已经说了。】这个应该是求导的基本功吧。我就求一次给你看好了。d/dx {f(3/x) d/dx g(x^4 - 5x)}先把内层d/dx g(x^4 - 5x)给弄出来。d/dx g(x^4 - 5x) = g'(x^4 - 5x) d/dx(x^4 - 5x) = (4x^3 - 5)g'(x^4 - 5x) 所以 d/dx {f(3/x) d/dx g(x^4 - 5x)} = df(3/x)/dx [d/dx g(x^4 - 5x)] + f(3/x) d/dx[d/dx g(x^4 - 5x)] 先看第一个求导部分： df(3/x)/dx = f'(3/x) d/dx(3/x) = -(3/x^2)f'(3/x) 再看第二个求导部分： d/dx[d/dx g(x^4 - 5x)] = d/dx[(4x^3 - 5)g'(x^4 - 5x)] = 12x^2g'(x^4 - 5x) + (4x^3 - 5)^2 g''(x^4 - 5x) 总的结果就是： d/dx {f(3/x) d/dx g(x^4 - 5x)} = -(3/x^2)(4x^3 - 5)f'(3/x)g'(x^4 - 5x) + [12x^2g'(x^4 - 5x) + (4x^3 - 5)^2 g''(x^4 - 5x)]f(3/x) 有个公因式(4x^3 - 5)，可以提取出来，不过也没有多大意义，给它留着算了。