大师作文网线性代数非齐次线性方程组题目
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 07:18:29
线性代数非齐次线性方程组题目
对增广矩阵(A,b)进行初等行变换：
第一行乘以-4加到第三行,乘以-2加到第四行；
第二行加到第三行,乘以-1加到第四行；
交换第三四行.
得到：
1 2 0 3
0 -1 1 -2
0 0 a-1 0
0 0 0 b-2
由上可知,2≤秩A≤3,秩A≤秩(A,b)≤秩A+1.
方程组无解秩A＜秩(A,b).一种情况是秩A=2,秩(A,b)=3,此时a-1=0,b-2≠0,所以a=1且b≠2.另一种情况是秩A=3,秩(A,b)=4,此时a-1≠0,b-2≠0,即a≠1且b≠2.综上,只要b≠2,方程组就无解.
当b=2时,方程组就有解了.
当a=1且b=2时,秩A=秩(A,b)=2,方程组有无穷多解.此时增广矩阵化简为
1 2 0 3
0 -1 1 -2
0 0 0 0
0 0 0 0
继续变换：第二行乘以2加到第一行,第二行再乘以-1,得
1 0 2 -1
0 1 -1 2
0 0 0 0
0 0 0 0
所以,x1=-1-2x3,x2=2+x3.令x3=c,则方程组的解是x=(x1,x2,x3,x4)'=(-1-2c,2+c,c)'=(-1,2,0)'+c(-2,1,1)',c取值任意.
当a≠1且b=2时,秩A=值(A,b)=3,方程组有唯一解,此时增广矩阵化简为
1 0 2 -1
0 -1 1 -2
0 0 a-1 0
0 0 0 0
继续变换：第三行除以a-1,第三行分别乘以-2,-1加到第一、二行,得
1 0 0 -1
0 -1 0 -2
0 0 1 0
0 0 0 0
所以,方程组的解是x1=-1,x2=2,x3=0.
第一行乘以-4加到第三行,乘以-2加到第四行；
第二行加到第三行,乘以-1加到第四行；
交换第三四行.
得到：
1 2 0 3
0 -1 1 -2
0 0 a-1 0
0 0 0 b-2
由上可知,2≤秩A≤3,秩A≤秩(A,b)≤秩A+1.
方程组无解秩A＜秩(A,b).一种情况是秩A=2,秩(A,b)=3,此时a-1=0,b-2≠0,所以a=1且b≠2.另一种情况是秩A=3,秩(A,b)=4,此时a-1≠0,b-2≠0,即a≠1且b≠2.综上,只要b≠2,方程组就无解.
当b=2时,方程组就有解了.
当a=1且b=2时,秩A=秩(A,b)=2,方程组有无穷多解.此时增广矩阵化简为
1 2 0 3
0 -1 1 -2
0 0 0 0
0 0 0 0
继续变换：第二行乘以2加到第一行,第二行再乘以-1,得
1 0 2 -1
0 1 -1 2
0 0 0 0
0 0 0 0
所以,x1=-1-2x3,x2=2+x3.令x3=c,则方程组的解是x=(x1,x2,x3,x4)'=(-1-2c,2+c,c)'=(-1,2,0)'+c(-2,1,1)',c取值任意.
当a≠1且b=2时,秩A=值(A,b)=3,方程组有唯一解,此时增广矩阵化简为
1 0 2 -1
0 -1 1 -2
0 0 a-1 0
0 0 0 0
继续变换：第三行除以a-1,第三行分别乘以-2,-1加到第一、二行,得
1 0 0 -1
0 -1 0 -2
0 0 1 0
0 0 0 0
所以,方程组的解是x1=-1,x2=2,x3=0.