大师作文网高中数学（第二问不用椭圆知识）
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 23:25:18
高中数学（第二问不用椭圆知识）
如图,海岸线MAN,∠A=2θ,现用长为l的拦网围成一养殖场,其中B∈MA,C∈NA．
（1）若BC=l,求养殖场面积最大值；
（2）若B、C为定点,BC＜l,在折线MBCN内选点D,使BD+DC=l,求四边形养殖场DBAC的最大面积；
如图,海岸线MAN,∠A=2θ,现用长为l的拦网围成一养殖场,其中B∈MA,C∈NA．
（1）若BC=l,求养殖场面积最大值；
（2）若B、C为定点,BC＜l,在折线MBCN内选点D,使BD+DC=l,求四边形养殖场DBAC的最大面积；
（1） 设AB=x,AC=y,x>0,y>0
由题意得,l^2=x^2+y^2-2xycos2θ≥2xy-2xycos2θ,
xy≤l^2/(2-2cos2θ)=l^2/[4(sinθ)^2],
S=1/2(xysin2θ)≤1/2•l^2/[4(sinθ)^2]•2sinθcosθ=l^2cosθ/4sinθ,
所以,△ABC面积的最大值为l^2cosθ/4sinθ,当且仅当x=y时取到．
(2) 设AB=m,AC=n（m,n为定值）． BC=2c（定值）,
由DB+DC=l=2a,a=1/2•l,知点D在以B、C为焦点的椭圆上,S△ABC=1/2mnsin2θ为定值．
只需△DBC面积最大,需此时点D到BC的距离最大,即D必为椭圆短轴顶点．b=(a^2-c^2)^(1/2)
=(l^2/4-c2)^(1/2),S△BCD面积的最大值为1/2•2c•b=c•(l^2/4-c^2)^(1/2),
因此,四边形ACDB面积的最大值为1/2m•n•sin2θ+c•(l^2/4-c^2)^(1/2)．
由题意得,l^2=x^2+y^2-2xycos2θ≥2xy-2xycos2θ,
xy≤l^2/(2-2cos2θ)=l^2/[4(sinθ)^2],
S=1/2(xysin2θ)≤1/2•l^2/[4(sinθ)^2]•2sinθcosθ=l^2cosθ/4sinθ,
所以,△ABC面积的最大值为l^2cosθ/4sinθ,当且仅当x=y时取到．
(2) 设AB=m,AC=n（m,n为定值）． BC=2c（定值）,
由DB+DC=l=2a,a=1/2•l,知点D在以B、C为焦点的椭圆上,S△ABC=1/2mnsin2θ为定值．
只需△DBC面积最大,需此时点D到BC的距离最大,即D必为椭圆短轴顶点．b=(a^2-c^2)^(1/2)
=(l^2/4-c2)^(1/2),S△BCD面积的最大值为1/2•2c•b=c•(l^2/4-c^2)^(1/2),
因此,四边形ACDB面积的最大值为1/2m•n•sin2θ+c•(l^2/4-c^2)^(1/2)．