大师作文网一道代数几何题目,图中第四题
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 17:50:02
一道代数几何题目,图中第四题
记R = {g ∈ k[t] | g(1) = g(-1)}.
对任意p ∈ k[X] = k[x,y]/(y²-x²-x³), f*p(t) = p(f(t)) = p(t²-1,t(t²-1)) ∈ k[t]良定义,
且有f*p(1) = p(0,0) = f*p(1), 故f*p ∈ R, 即im(f*) ⊆ R.
f*是环同态这是基本事实, 这里就不验证了, 只需验证f*是到R的双射.
对任意p ∈ k[X], 不妨设p(x,y) = yq(x)+r(x).
若p ∈ ker(f*), 则f*p(t) = t(t²-1)q(t²-1))+r(t²-1) = 0, 也即t(t²-1)q(t²-1)) = -r(t²-1).
假设q(x)或r(x)不为零多项式, 则另一个也不为零多项式.
但此时t(t²-1)q(t²-1))的次数3+2deg(q)为奇数, -r(t²-1)的次数2deg(r)为偶数, 矛盾.
因此q = r = 0, 进而p = 0. 即得ker(f*) = {0}, f*是单射.
对任意g ∈ R, 可设g(t) = u(t²)+tv(t²).
由g(1) = g(-1)可得2v(1) = 0, 故v(1) = 0 (char(k) ≠ 2).
可设v(x) = (x-1)w(x).
取r(x) = u(x+1), q(x) = w(x+1), 则u(t²) = r(t²-1), tv(t²) = t(t²-1)w(t²) = t(t²-1)q(t²-1).
于是p(x,y) = r(x)+yq(x) ∈ k[X]满足g = f*p, g ∈ im(f*), f*是满射.
综上, f*是k[X]到R的环同构.
对任意p ∈ k[X] = k[x,y]/(y²-x²-x³), f*p(t) = p(f(t)) = p(t²-1,t(t²-1)) ∈ k[t]良定义,
且有f*p(1) = p(0,0) = f*p(1), 故f*p ∈ R, 即im(f*) ⊆ R.
f*是环同态这是基本事实, 这里就不验证了, 只需验证f*是到R的双射.
对任意p ∈ k[X], 不妨设p(x,y) = yq(x)+r(x).
若p ∈ ker(f*), 则f*p(t) = t(t²-1)q(t²-1))+r(t²-1) = 0, 也即t(t²-1)q(t²-1)) = -r(t²-1).
假设q(x)或r(x)不为零多项式, 则另一个也不为零多项式.
但此时t(t²-1)q(t²-1))的次数3+2deg(q)为奇数, -r(t²-1)的次数2deg(r)为偶数, 矛盾.
因此q = r = 0, 进而p = 0. 即得ker(f*) = {0}, f*是单射.
对任意g ∈ R, 可设g(t) = u(t²)+tv(t²).
由g(1) = g(-1)可得2v(1) = 0, 故v(1) = 0 (char(k) ≠ 2).
可设v(x) = (x-1)w(x).
取r(x) = u(x+1), q(x) = w(x+1), 则u(t²) = r(t²-1), tv(t²) = t(t²-1)w(t²) = t(t²-1)q(t²-1).
于是p(x,y) = r(x)+yq(x) ∈ k[X]满足g = f*p, g ∈ im(f*), f*是满射.
综上, f*是k[X]到R的环同构.