大师作文网（2012•湖南模拟）已知函数f(x)＝12x2+x−(x+1)ln(x+1)
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/11 05:04:44
（2012•湖南模拟）已知函数f(x)＝
x
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（1）函数定义域为（-1，+∞），f'（x）=x-ln（x+1），
记g（x）=x-ln（x+1）g′(x)＝1−
1
x+1＝
x
x+1，（3分）
当x∈（-1，0）时，g'（x）＜0，g（x）在（-1，0）递减，
当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，
∴x∈（-1，+∞），g（x）≥0，
即当x∈（-1，+∞），f'（x）≥0，
∴f（x）在（-1，+∞）递增 （6分）
（2）证明：由（1）可知φ（x）=x-1-lnx-k（x-1），
由题意：x1-1-lnx1-k（x1-1）=0，x2-1-lnx2-k（x2-1）=0，
两式相减得：x1−x2−ln
x1
x2＝k(x1−x2)，即有k＝1−
1
x1−x2ln
x1
x2，
又因为φ′(x)＝1−
1
x−k，所以φ′(
x1+x2
2)＝1−
2
x1+x2−k＝
1
x1−x2ln
x1
x2−
2
x1+x2（9分）
现考察ln
x1
x2−
2(x1−x2)
x1+x2＝ln
x1
x2−
2(
x1
x2−1)
x1
x2+1，
令
x1
x2＝t(0＜t＜1)，设
记g（x）=x-ln（x+1）g′(x)＝1−
1
x+1＝
x
x+1，（3分）
当x∈（-1，0）时，g'（x）＜0，g（x）在（-1，0）递减，
当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，
∴x∈（-1，+∞），g（x）≥0，
即当x∈（-1，+∞），f'（x）≥0，
∴f（x）在（-1，+∞）递增 （6分）
（2）证明：由（1）可知φ（x）=x-1-lnx-k（x-1），
由题意：x1-1-lnx1-k（x1-1）=0，x2-1-lnx2-k（x2-1）=0，
两式相减得：x1−x2−ln
x1
x2＝k(x1−x2)，即有k＝1−
1
x1−x2ln
x1
x2，
又因为φ′(x)＝1−
1
x−k，所以φ′(
x1+x2
2)＝1−
2
x1+x2−k＝
1
x1−x2ln
x1
x2−
2
x1+x2（9分）
现考察ln
x1
x2−
2(x1−x2)
x1+x2＝ln
x1
x2−
2(
x1
x2−1)
x1
x2+1，
令
x1
x2＝t(0＜t＜1)，设
（2012•湖南模拟）已知函数f(x)＝12x2+x−(x+1)ln(x+1)
（2012•广东模拟）已知函数f(x)＝x22−(1+2a)x+4a+12ln(2x+1)．
（2009•湖南模拟）已知函数f(x)＝2sin(x−π3)，x∈R．
（2012•洛阳模拟）已知函数f(x)＝x2−ax+ln(12ax+12)(a＞0)．
（2012•黄冈模拟）已知函数f(x)＝x3−3x2+1，g(x)＝(x−12)2+1(x＞0)−(x+3)2+1(x≤
（2014•湖北模拟）设函数f（x）=x2+ln（x+1）．
已知函数f(x)＝ln(1+x)x．
函数f(x)＝1ln(x+1)+4−x2的定义域为（ ）
（2011•厦门模拟）已知函数f(x)＝x+3(x≤1)−x2+2x+3(x＞1)，g(x)＝3x，这两个函数图象的交点
因为函数f(x)=ln(x2+x+1-x2-x+1)=ln((x+12)2+(0
已知函数f(x)=ln(x2+1),g(x)=1/(x2-1)+a
（2013•湖南模拟）设函数f（x）=f(x)＝(13)