设函数f(x)＝ln(x−1)+2ax(a∈R)

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 12:23:04

设函数f(x)＝ln(x−1)+

(a∈R)

（1）由题意可知函数f（x）的定义域为（1，+∞），f′(x)＝
1
x−1−
2a
x2＝
x2−2ax+2a
x2(x−1)，
设g（x）=x²-2ax+2a，△=4a²-8a=4a（a-2），
①当△≤0，即0≤a≤2，g（x）≥0，
∴f′（x）≥0，f（x）在（1，+∞）上单调递增．
②当a＜0时，g（x）的对称轴为x=a，当x＞1时，由二次函数的单调性可知g（x）＞g（1）＞0，
∴f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增．
③当a＞2时，设x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程x²-2ax+2a=0的两个根，则x1＝a−
a2−2a＞1，x2＝a+
a2−2a，
当1＜x＜x₁或x＞x₂时，f′（x）＞0，f（x）在（1，x₁），（x₂，+∞）上是增函数．
当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0，f（x）在（x₁，x₂）上是减函数．
综上可知：当a≤2时，f（x）在（1，+∞）上单调递增；
当a＞2时，f（x）的单调增区间为（1，x₁），（x₂，+∞），单调递减区间为（x₁，x₂）．
（2）
ln(x−1)
x−2＞
a
x可化为
1
x−2[ln(x−1)+
2a
x−a]＞0，即
1
x−2[f(x)−a]＞0，（*）
令h（x）=f（x）-a，由（1）知：
①当a≤2时，f（x）在（1，+∞）上是增函数，所以h（x）在（1，+∞）是增函数．
因为当1＜x＜2时，h（x）＜h（2）=0，∴（*）式成立；
当x＞2时，h（x）＞h（2）=0，∴（*）成立；
所以当a≤2时，（*）成立
②当a＞2时，因为f（x）在（x₁，2）上是减函数，所以h（x）在（x₁，2）上是减函数，所以当x₁＜x＜2时，h（x）＞h（2）=0，（*）不成立．
综上可知，a的取值范围为（-∞，2]．

设函数f(x)＝ln(x−1)+2ax(a∈R) 设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),a∈R 设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1) a属于R 1、已知函数f(x)=ln(x+1)+ax^2-x,a∈R 函数f(x)=ln(x+1)-ax∧2-x,a∈R 已知函数f(x)=ln(x+1)+ax/(x+1)(a∈R) 已知函数f (x)=(x+2)ln(x+1)-ax^2-x(a∈R),g(x)=ln(x+1). 设函数f(x)=ax+1/x^2(x≠0,常数a∈R) 设函数f(x)＝1−a2x2+ax−lnx(a∈R)．设函数f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax.(a∈R）：已知函数f(x)=ln(2ax+1)+x^3/3-x^2-2ax （a∈R).1).若y=f(x 已知函数f（x）=ln（2ax+1）+x33-x2-2ax（a∈R），