大师作文网一道高中数学题 关于素数
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/16 01:58:58
一道高中数学题 关于素数
如果14个不同的质数能够成为某等差数列的相继14项,求证其公差>30000
求详解.
如果14个不同的质数能够成为某等差数列的相继14项,求证其公差>30000
求详解.
这个奥赛题很经典,
设首项为a,公差为d,这里a,d都是正整数,（d>0是由于素数两两不同）
则这个数列中数依次为a,a+d,a+2d...a+13d,
显然a不为1（因为a为素数）,
再证明a>13,否则aa故a+ad为合数,与题设矛盾.
最后证明d要被2,3,5,7,11,13中所有数整除,否则假设d不被m整除,这里m为2,3,5,7,11,13中某个数,则考虑d,2d...,md这m个整数,他们除以m的余数一定为0,1,..,m-1的一个排列（就是说他们的余数一定将0,1...,m-1全部取到,且每个仅取一次）,那么一定存在rd(其中r为1,2...,m-1中的某个数）使得a+rd除以m的余数为0,但显然a+rd>a>13>=m故a+rd为合数,与题设矛盾,故假设不成立,所以d被2,3,5,7,11,13整除,故设d=2*3*5*7*11*13*p其中p为正整数,故d>=2*3*5*7*11*13=30030>30000,
证毕.
设首项为a,公差为d,这里a,d都是正整数,（d>0是由于素数两两不同）
则这个数列中数依次为a,a+d,a+2d...a+13d,
显然a不为1（因为a为素数）,
再证明a>13,否则aa故a+ad为合数,与题设矛盾.
最后证明d要被2,3,5,7,11,13中所有数整除,否则假设d不被m整除,这里m为2,3,5,7,11,13中某个数,则考虑d,2d...,md这m个整数,他们除以m的余数一定为0,1,..,m-1的一个排列（就是说他们的余数一定将0,1...,m-1全部取到,且每个仅取一次）,那么一定存在rd(其中r为1,2...,m-1中的某个数）使得a+rd除以m的余数为0,但显然a+rd>a>13>=m故a+rd为合数,与题设矛盾,故假设不成立,所以d被2,3,5,7,11,13整除,故设d=2*3*5*7*11*13*p其中p为正整数,故d>=2*3*5*7*11*13=30030>30000,
证毕.