关于一道定积分的问题设f(x)在[-a,a]上存在连续的二阶导数,f(0)=0,证明至少存在一点ξ∈[-a,a] ,使我

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/29 18:30:25

关于一道定积分的问题
设f(x)在[-a,a]上存在连续的二阶导数,f(0)=0,证明至少存在一点ξ∈[-a,a] ,使
我也是用泰勒和介值定理做的可惜最后剩个变量消不掉了 o(╯□╰)o
顺便弱弱滴问下：由R(F)=[m,M]→R(F```)=[m,M] 的数学依据是什么？小子不才，请兔宝蹦赐教！

作变上限积分：令F(x)=∫(0,x)f(x)dx,则
F(a)=∫(0,a)f(x)dx,F(-a)=∫(0,-a)f(x)dx即-F(-a)=∫(-a,0)f(x)dx
F(a)-F(-a)=∫(-a,a)f(x)dx
F′(x)=f(x),F〃(x)=f′(x),F```(x)=f〃(x)
∴F′(0)=f(0)=0
将F(x)分别在x=a,x=-a处用泰勒公式展开:
F(a)=F(0)+F′(0)a+F〃(0)a²/2!+F```(ζ1)a³/3!,ζ1∈(0,a)
F(-a)=F(0)+F′(0)(-a)+F〃(0)(-a)²/2!+F```(ζ2)(-a)³/3!,ζ2∈(-a,0)
上式减下式：
F(a)-F(-a)=2aF′(0)+F```(ζ1)a³/6+F```(ζ2)a³/6
=[F```(ζ1)+F```(ζ2)]a³/6
∵f(x)在[-a,a]上存在连续的二阶导数
∴F(x)在[-a,a]上存在连续的三阶导数
可设m≤F```(x)≤M
∴m≤F```(ζ1)≤M,m≤F```(ζ2)≤M
∴m≤[F```(ζ1)+F```(ζ2)]/2≤M
由介值定理：至少存在一点ζ∈(ζ1,ζ2)包含于[-a,a],使
F```(ζ)=[F```(ζ1)+F```(ζ2)]/2
∴F```(ζ)a³/3=F(a)-F(-a)
即F```(ζ)=3/a³[F(a)-F(-a)]=3/a³∫(-a,a)f(x)dx
不好意思,敲得时候漏掉了,应该是F```(x),依据是：连续函数在闭区间上存在最大值和最小值,现在已改过来了

关于一道定积分的问题设f(x)在[-a,a]上存在连续的二阶导数,f(0)=0,证明至少存在一点ξ∈[-a,a] ,使我设f(x)在[a,b]上具有二阶导数且f(a)=f(b)=0 f'(a)f'(b)>0 证明至少存在一点设函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b)可导,且f(a)=0,证明至少存在一点ξ∈(a 介值定理的问题函数f(x)在[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),证明:在[0,2a]上至少存在一点ξ,使f(ξ) 一道导数题求教设函数f（x）在【a,b】上连续,在（a,b)上可导,证明在（a,b)内至少存在一点m,使f'（m）=【f 设f(x)在[a,b]上连续,证明:至少存在一点ε∈[a,b],使f(ε)=[f(a)+f(b)]/2 高数积分证明题设f(x)在[-a,a]上二阶导函数连续,(a>0),且f(0)=0,证明：在[-a,a]上至少存在一点c 设函数f(x)在(a,b)上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=0,证明：至少存在一点n属于（a,b) 设函数f(x)在区间[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),证明：在[0,a]上至少存在一点ξ,使f(ξ)=f(ξ+ 设函数F(X)在开区间（0,2a)上连续,且f(0)=f(2a),证明在零到A上至少存在一点X,使f(x)=f(a+x) f(x)在（a,b）上具有二阶连续导数又 f'(a)=f'(b)=0 证明：存在u属于(a,b) f(u) 设f(x)在[a,b]上存在二阶导数,f(a)>0,f(b)>0,∫a到b f(x)dx=0,证明存在ζ∈（a,b）,使