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已知实数a,b,c满足a≤b≤c,且ab+bc+ca=0,abc=1,不等式|a+b|≥k|c|恒成立.则实数k的最大值

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/10 08:50:29
已知实数a,b,c满足a≤b≤c,且ab+bc+ca=0,abc=1,不等式|a+b|≥k|c|恒成立.则实数k的最大值为______.
已知实数a,b,c满足a≤b≤c,且ab+bc+ca=0,abc=1,不等式|a+b|≥k|c|恒成立.则实数k的最大值
∵a≤b≤c,且ab+bc+ca=0,abc=1,∴a≤b<0<c,c=-
ab
a+b,
由不等式|a+b|≥k|c|恒成立得
k≤
|a+b|
|c|=
|a+b|
|
−ab
a+b|=
|a+b|2
ab=
a2+b2+2ab
ab 恒成立,故k小于或等于
a2+b2+2ab
ab的最小值.
又∵
a2+b2+2ab
ab≥
2ab+2ab
ab=4,故k≤4,
故答案为 4.