大师作文网大学数学分析第六和第七小题
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 01:03:35
大学数学分析第六和第七小题
第六题比较容易
取n个正数:n-m个1和m个1+x
用平均值不等式得到
(1+x)^m = 1*1*...*1 * (1+x)*(1+x)*...*(1+x) < [ [(n-m)*1 + m*(1+x)] / n ]^n = (1+m/n*x)^n
第七题有点麻烦
考虑f(n) = (1+1/n)^n * (1-1/n)^{-1}
那么从条件可以算出f(11) (1+1/(n+1))^{n+1} * (1-1/(n+1))^{-1}
整理一下,等价于要证
[n/(n+1)]^{n-1} * (n-1)/n < [(n+1)/(n+2)]^{n+1}
把上式左端看成n个数的乘积,再凑上一个1变成n+1个数的积,同样用平均值不等式
[n/(n+1)] * [n/(n+1)] * ...* [n/(n+1)] * [(n-1)/n] * 1
< [ ( [n/(n+1)]*(n-1) + [(n-1)/n] + 1 ) / (n+1) ]^{n+1}
= [ (n^3+n^2+n-1)/[n(n+1)^2] ]^{n+1}
< [(n+1)/(n+2)]^{n+1}
其中最后一步用到了
(n^3+n^2+n-1)/[n(n+1)^2] < (n+1)/(n+2)
这个直接通分验证
取n个正数:n-m个1和m个1+x
用平均值不等式得到
(1+x)^m = 1*1*...*1 * (1+x)*(1+x)*...*(1+x) < [ [(n-m)*1 + m*(1+x)] / n ]^n = (1+m/n*x)^n
第七题有点麻烦
考虑f(n) = (1+1/n)^n * (1-1/n)^{-1}
那么从条件可以算出f(11) (1+1/(n+1))^{n+1} * (1-1/(n+1))^{-1}
整理一下,等价于要证
[n/(n+1)]^{n-1} * (n-1)/n < [(n+1)/(n+2)]^{n+1}
把上式左端看成n个数的乘积,再凑上一个1变成n+1个数的积,同样用平均值不等式
[n/(n+1)] * [n/(n+1)] * ...* [n/(n+1)] * [(n-1)/n] * 1
< [ ( [n/(n+1)]*(n-1) + [(n-1)/n] + 1 ) / (n+1) ]^{n+1}
= [ (n^3+n^2+n-1)/[n(n+1)^2] ]^{n+1}
< [(n+1)/(n+2)]^{n+1}
其中最后一步用到了
(n^3+n^2+n-1)/[n(n+1)^2] < (n+1)/(n+2)
这个直接通分验证