如图,已知bp为△abc的角平分线,cd为△ABC的外角角ace的平分线

因为,∠BCE＝∠A＋∠ABC,∠CBD＝∠A＋∠ACB所以,∠2＝1/2＊（∠A＋∠ABC）,∠1＝1/2＊（∠A＋∠ACB）所以,∠BPC＝180－（∠1＋∠2）＝180－1/2＊（∠A＋∠ACB

证明：连接MP,BM∵MP垂直AB∴AP²+MP²=AM²=MC²（勾股定理和中点AM=MC）∵MC²+BC²=MB²=MP

证明：延长BP，交AC于E，∵AD平分∠BAC，BP⊥AD，∴∠BAP=∠EAP，∠APB=∠APE，又∵AP=AP，∴△ABP≌△AEP，∴BP=PE，AE=AB，∠AEB=∠ABE，∴BE=BP+

证明：∵∠ACE是三角形ABC的外角∴∠ACE=∠A+∠ABC又∵BP和CP是∠ABC与∠ACE的角平分线∴∠ABP=∠2,∠ACP=∠PCE根据题意可知∠PCE=∠2+∠P∴∠ACE=∠A+∠ABC

∵∠1=0.5∠DBC=0.5（180°-∠ABC）,∠2=0.5∠ECB=0.5（180°-∠ACB）∴∠BPC=180°-（∠1+∠2）=180°-【0.5（180°-∠ABC）+0.5（180°

因为∠A=64°,∠ABC+ ∠ACB＝180°－64°＝116°∠EBC＝180°－∠ABC  ∠BCF＝180°－∠BCF所以∠EBC+∠BCF＝360°－（∠ABC

证明：过点P分别过点P作PD⊥AM于D,PE⊥BC于E,PF⊥AN于F．∵BP、CP是△ABC的外角平分线,∴PD=PE,PE=PF,∴PD=PF．∴点P必在∠BAC的平分线上．（到角两边距离相等的点

过点P作PM⊥AB的延长线,垂足为M,PQ⊥BC,垂足为QPN⊥AC的延长线,垂足为N∵∠MBP=∠QBP,∠PCQ=∠PCN∴PM=PQ,PQ=PN∴PM=PN∴AP平分∠BAC

∠A=50,所以∠ABC+∠ACB=130∠ACP=1/2（180-∠ACB）=90-∠ACB/2∠P=180-∠PBC-（∠ACB+∠ACP）因为∠PBC=∠ABC/2所以∠P=180-∠ABC/2

分析与思路：要证BP=CP,就是要证∠CBP=∠BCP；要证∠CBP=∠BCP,就是要证,△ABC全等于△DCB,而这是已知条件,故BP=CP.另一方面,要证AP=DP,就是要证AC-CP=BD-BP

证明：∵AB=AC,AD是中线,∴AD⊥BC,∴AD垂直平分BC,∴ΔAPB≌ΔAPC,∴BP=CP,∠AB=∠ACP,∵AB∥CF,∴∠F=∠ABP,∴∠ACP=∠F,又∠CPF=∠CPF,∴ΔPC

在AC上截取AE=AB,连接PE,可以知道三角形ABP全等于三角形AEP,所以BP=PE,BE=2BP,进而推出三角形ABE为等边三角形,角ABE=60度=角AEB,AC-AB=EC=BE=2BP,角

延长BP交AC于E,AD是∠BAC的平分线,BP⊥AD,∴△ABE是等腰三角形,AB=AE,BP=EP,∠ABE=∠AEB∴BE=BP+EP=2BP,又EC=AC-AE=AC-AB=2BP∴△EBC是

连接DC∵△ABC是等边三角形∴∠ACB=60°AB=AC=BC∴AB=BP∴BP=BC在△BDP和△BDC中BP=BCBD=BD∠DBP=∠DBC∴△BDP≌△BDC∴DP=DC∠DCB=∠BPD=

过P点分别作AE\AD\BC\的垂线段,垂足分别为XYZ因为BP平公角CBD,所以PY=PZ,(角平分线的性质)同理可得PX=PZ得PX=PY=PZ,则AP平分∠BAC,(角平分线的性质逆定理)

证：PG为BC的⊥平分线,：∠PCB＝∠PBC=2\1∠A.所以：∠CPB=180－∠A又：∠DPE＝∠CPB,故∠DPE=180－∠A,可知A、E、P、D四点共圆.由正弦定理分别有：BE:sin∠E

证明：因为∠A的平分线AD交BC于D，BP⊥AD，所以△ABE为等腰三角形，所以AE=AB设∠AEB=z度，∠EBC=y度，∠C=x度，则∠ABC=3x度于是z=x+y，z=3x-y整理得x=y，则B

证明：过点P分别作AM、BC、AN的垂线PE、PF、PD，E、F、D为垂足，∵CP是∠MCB的平分线，∴PE=PD．同理：PF=PD．∴PE=PF．∴点P在∠BAC的平分线上．

∠BPC＝90-∠A/2∵∠DBC＝180-∠ABC,BP平分∠CBD∴∠PBC＝∠CBD/2＝（180-∠ABC）/2＝90-∠ABC/2∵∠BCE＝180-∠ACB,CP平分∠BCE∴∠PCB＝∠

证明：在DC上取DB′=DB，连接PB′，AB′交PC于E点，由轴对称可知，PB′=PB，AB′=AB，由三角形三边关系定理，得AB+PC=AB′+PC=AE+EB′+PE+EC＞PB′+AC=PB+