大师作文网设n阶方阵A满足A^2=A.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/12 00:23:19
(E-A)(E+A+A^2+...+A^K-1)=E+A+A^2+...+A^K-1-(A+A^2+...+A^K)=E-A^k=E所以：E-A可逆,并且(E-A)^-1=E+A+A^2+...+A^
证明:设a是A的特征值则a^2-2a是A^2-2A的特征值因为A^2-2A=0所以a^2-2a=0所以a(a-2)=0所以a=0或a=2.即A的特征值只能是0或2.
证明:因为A*A-A-2E=0,所以A(A-E)=2E或A(E-A)=-2E..所以A和E-A可逆,且A^-1=(1/2)(A-E),(E-A)^-1=(-1/2)A.满意请采纳^_^
Only_唯漪的证法我好像没有看懂的样子……果然代数都忘光了,这里给出一种Jordan标准型的证法参考一下：——————————————————————————————————————————∵R(E
A^2=E==>A^2-E=0==>(A+E)(A-E)=O|A+E|≠0所以A+E可逆那么方程(A+E)x=0只有0解也就是说A-E的每一列都是0,所以A-E=O
汗啊,是平方啊…………我以为是伴随呢…………A²-A+E=0E=A-A²=A(E-A)(E-A)A=A-A²=E所以A可逆,逆矩阵是E-A
证：R(A+3E)+R(A-E)=R(A+3E)+R(E-A)≥R(A+3E+E-A)=R(4E)=n①A²+2A-3E=0(A+3E)(A-E)=0R(A+3E)+R(A-E)≤n②由①、
AB=A-BAB-A+B-I=-I(A-I)(B+I)=-I(B+I)(A-I)=-IBA-A+B-I=-IBA=A-B所以AB=BA
[A+E]=[A+A*A']=[A][E+A']=[A][(A+E)']=[A]*[A+E]得到（1-[A])[A+E]=0因为|A|
因为A^2-A-2E=0所以A(A-E)=2E所以A-E可逆,且(A-E)^-1=(1/2)A.
A^2-A-2i=A^2-A*I-2I=(A-I)*(A)-2I=0所以（A-I）*（A/2）=I所以A-I的逆为A/2
证:由已知,A^2=E,(A+E)(A-E)=0所以r(A+E)+r(A-E)
A^2=AA=E===>A=A'=A^(-1)=A^*并且A不为0或(-E)因为E^2=E===>A^2-E^2=0===>(A+E)(A-E)=0--->A=EToyourquestion:IfAB
式子化成(A+E)(A-3E)=-2E由逆矩阵定义得满足AB=E则A,B互为逆矩阵所以A+E可逆逆矩阵为(A-3E)/(-2)
DA^2=B^2,则|A^2|=|B^2||AA|=|BB||A||A|=|B||B||A|^2=|B|^2
设a为矩阵A的特征值,X为对应的非零特征向量.则有AX=aX.aX=AX=A^2X=A(AX)=A(aX)=aAX=a(aX)=a^2X,(a^2-a)X=0,因X为非零向量,所以.0=a^2-a=a
（A－E)A=A^2－A＝3E,因此(A－E)A/3=E,A－E可逆,其逆为A/3.
由A^2+A+2E=0,可以写成(-A/2)(A+E)=E,所以（A+E）^-1=-A/2.
因为A*A=A,所以A(A-E)=0;故A-E的每个列向量都是方程Ax=0的解,由于A-E中的列向量未必构成解空间的基,所以R(A)+R(A-E)小于等于n；又由R(A)+R(B)>=R(A+B)；立