在直角坐标系下,面积（如三角形）的代数值是怎么规定的?公式又是什么?

在直角坐标系下,面积（如三角形）的代数值是怎么规定的?公式又是什么?
此时的面积是有正负之分的

先介绍一下三维中的两点之间距离之式,和二维的几乎一样：d = sqrt((x0-x1)^2 + (y0-y1)^2 + (z0-z1)^2)
再介绍叉乘,中心内容!叉乘在定义上有：两个向量进行叉乘得到的是一个向量,方向垂直于这两个向量构成的平面,大小等于这两个向量组成的平行四边形的面积.
在直角座标系[O;i,j,k]中,i、j、k分别为X轴、Y轴、Z轴上向量的单位向量.设P0(0,0,0),P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2).因为是从原点出发,所以向量P0P1可简记为P1,向量P0P2可简记为P2.依定义有：
|i j k |
P1×P2 = |x1 y1 z1|
|x2 y2 z2|
展开,得到：
上式 = iy1z2 + jz1x2 + kx1y2 - ky1x2 - jx1z2 - iz1y2
= (y1z2 - y2z1)i + (x2z1 - x1z2)j + (x1y2 - x2y1)k
按规定,有：单位向量的模为1.可得叉积的模为：
|P1×P2| = y1z2 - y2z1 + x2z1 - x1z2 + x1y2 - x2y1
= (y1z2 + x2z1 + x1y2) - (y2z1 + x1z2 + x2y1)
开始正式内容.我们设三角形的三个顶点为A(x0,y0,z0),B(x1,y1,z1),C(x2,y2,z2).我们将三角形的两条边AB和AC看成是向量.然后,我们以A为原点,进行坐标平移,得到向量B(x1-x0,y1-y0,z1-z0),向量C(x2-x0,y2-y0,z2-z0).
①在三维的情况下,直接代入公式,可得向量B和向量C叉乘结果的模为：
|B×C| = ((y1-y0)*(z2-z0) + (z1-z0)*(x2-x0) + (x1-x0)*(y2-y0)) -
((y2-y0)*(z1-z0) + (z2-z0)*(x1-x0) + (x2-x0)*(y1-y0))
| 1 1 1 |
= |x1-x0 y1-y0 z1-z0|
|x2-x0 y2-y0 z2-z0|
它的一半即为所要求的三角形面积S.
还有一种比较简单的写法.将向量AB和AC平移至原点后,设向量B为(x1,y1,z1),向量C为(x2,y2,z2),则他们的叉乘所得向量P为(x,y,z),其中：
|y1 z1| |z1 x1| |x1 y1|
x = | | y = | | z = | |
|y2 z2| |z2 x2| |x2 y2|
然后用三维中的两点之间距离公式,求出(x,y,z)与(0,0,0)的距离,即为向量P的模,它的一半就是所要求的面积了.
以上公式都很好记：x分量由y,z分量组成,y分量由z,x分量组成,z分量由x,y分量组成,恰好是循环的.坐标平移一下就好了.
②在二维的情况下,我们可以取z = 0这个平面,即令z1 = z2 = 0,且
|P1×P2| = x1y2 - x2y1
|x1 y1|
= | |
|x2 y2|
所以：
|B×C| = (x1-x0)*(y2-y0)-(x2-x0)*(y1-y0)
|x1-x0 y1-y0|
= | |
|x2-x0 y2-y0|
它的一半即为所要求的三角形的面积S.
注意,用行列式求出来的面积是带符号的.如果A,B,C是按顺时针方向给出,则S为负；按逆时针方向给出,则S为正.
以二维的情况为例,三维亦同：
A(0,0) B(0,1) C(1,0) (A,B,C按顺时针方向给出)
S = ((x1-x0)*(y2-y0)-(x2-x0)*(y1-y0))/2;
= ((0 - 0)*(0 - 0)-(1 - 0)*(1 - 0))/2
= -0.5
A(1,0) B(0,1) C(0,0) (A,B,C按逆时针方向给出)
S = ((x1-x0)*(y2-y0)-(x2-x0)*(y1-y0))/2;
= ((0 - 1)*(0 - 0)-(0 - 1)*(1 - 0))/2
= 0.5
如果你不需要符号的话,再求一下绝对值就好了.这样也不用去管给出的点的顺序了.
以上是利用叉乘.其实还有一招,那就是海伦公式：
利用两点之间距离公式,求出三角形的三边长a,b,c后,令p = (a+b+c)/2.再套入以下公式就可以求出三角形的面积S :
S = sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))
看起来好像比上面的都要简单…… -.-b 各位看客不要打我!
推荐：在二维的时候使用叉乘公式,三维的时候使用海伦公式～不过如果是需要符号的情况时,就只能使用行列式的计算公式了.