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已知奇函数f(x),偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a^x(a>0,a≠1),求证:f(2x)=2f(x)×g(x

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/11 12:32:59
已知奇函数f(x),偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a^x(a>0,a≠1),求证:f(2x)=2f(x)×g(x)
已知奇函数f(x),偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a^x(a>0,a≠1),求证:f(2x)=2f(x)×g(x
f(x)+g(x)=a^x
f(-x)+g(-x)=a^(-x),即有:-f(x)+g(x)=a^(-x)
∴g(x)=1/2[a^x+a^(-x)],f(x)=1/2[a^x-a^(-x)]
∴f(2x)=1/2[a^(2x)+a^(-2x)]
2f(x)g(x)
=2×1/2[a^x-a^(-x)]×1/2[a^x+a^(-x)]
=1/2{(a^x)^2-[a^(-x)]^2}
=1/2[a^(2x)+a^(-2x)]
∴f(2x)=2f(x)g(x)