欧拉定理公式的证明: d＾2=R＾2-2Rr

欧拉定理公式的证明: d＾2=R＾2-2Rr
要过程,只需要这一个证明

简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系
V+F-E=2
这个公式叫欧拉公式.公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律.
方法1：（利用几何画板）
逐步减少多面体的棱数,分析V+F-E
先以简单的四面体ABCD为例分析证法.
去掉一个面,使它变为平面图形,四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变.因此,要研究V、E和F关系,只需去掉一个面变为平面图形,证V+F1-E=1
（1）去掉一条棱,就减少一个面,V+F1-E不变.依次去掉所有的面,变为“树枝形”.
（2）从剩下的树枝形中,每去掉一条棱,就减少一个顶点,V+F1-E不变,直至只剩下一条棱.
以上过程V+F1-E不变,V+F1-E=1,所以加上去掉的一个面,V+F-E =2.
对任意的简单多面体,运用这样的方法,都是只剩下一条线段.因此公式对任意简单多面体都是正确的.
方法2：计算多面体各面内角和
设多面体顶点数V,面数F,棱数E.剪掉一个面,使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α
一方面,在原图中利用各面求内角总和.
设有F个面,各面的边数为n1,n2,…,nF,各面内角总和为：
∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]
= (n1+n2+…+nF -2F) ·1800
=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）
另一方面,在拉开图中利用顶点求内角总和.
设剪去的一个面为n边形,其内角和为(n-2)·1800,则所有V个顶点中,有n个顶点在边上,V-n个顶点在中间.中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600,边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800.
所以,多面体各面的内角总和：
∑α = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800
=（V-2）·3600.（2）
由(1)(2)得：(E-F) ·3600 =（V-2）·3600
所以 V+F-E=2.
（1）分式：
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0
当r=2时值为1
当r=3时值为a+b+c
（2）复数
由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：
sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i
cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2
（3）三角形
设R为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则：
d＾2=R＾2-2Rr
（4）多面体
设v为顶点数,e为棱数,f是面数,则
v-e+f=2-2p
p为欧拉示性数,例如
p=0 的多面体叫第零类多面体
p=1 的多面体叫第一类多面体
(5) 多边形
设一个二维几何图形的顶点数为V,划分区域数为Ar,一笔画笔数为B,则有：
V+Ar-B=1
(如：矩形加上两条对角线所组成的图形,V=5,Ar=4,B=8)
(6).欧拉定理
在同一个三角形中,它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线.
其实欧拉公式是有很多的,上面仅是几个常用的.