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求解答一道跟微积分中值定理有关的题目

来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/12 00:19:58
求解答一道跟微积分中值定理有关的题目
f(x)在（-∞,+∞）上有一阶连续导数,f′（1/2）=0,证明存在ε∈（0,1/2）使
f′(ε)=2ε[f(ε)—f(0)]
求解答一道跟微积分中值定理有关的题目
令F(x)=f '(x)-2x[f(x)-f(0)]
F(0)=f '(0)
F(1/2)=f(0)-f(1/2)
不妨设f '(0)>0,即F(0)>0
若f ‘(0)在(0,1/2)上不变号,则f(1/2)>f(0)
因此F(0)>0>F(1/2)
则根据介值定理,存在ε∈(0,1/2),使F(ε)=0,于是f′(ε)=2ε[f(ε)—f(0)]
若f '(0)在(0,1/2)变号,则存在至少一点ci∈(0,1/2),使f '(ci)=0
令c1是所有ci中最小的,也就是从0开始,f '(c1)第一次等于0
那么F(c1)=f '(c1)-2c1[f(c1)-f(0)]= -2c1[f(c1)-f(0)]
因为f '(c1)是从0开始第一个导函数为0的点,因此在(0,c1)上f '(x)恒大于0,也就是说f(c1)>f(0)
因此F(c1)f '(d)-2d*[d*f '(d)]=f '(d)(1-2d^2)>0
此时可与F(0)>0类似,证得存在ε∈（0,1/2）使f′(ε)=2ε[f(ε)—f(0)]
于是本题得证
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