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已知椭圆C:X2/A2+Y2/B2=1(A>B>0)的离心率为根号2/2,且曲线果点(1,根号2/2)

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/10 18:22:12
已知椭圆C:X2/A2+Y2/B2=1(A>B>0)的离心率为根号2/2,且曲线果点(1,根号2/2)
1 .求椭圆C方程
2.已知直线X-Y+M=0与椭圆交于不同的两点A.B,切线段A B的中点不在圆X2+Y2=5/9内 求M得取值范围
已知椭圆C:X2/A2+Y2/B2=1(A>B>0)的离心率为根号2/2,且曲线果点(1,根号2/2)
第一个问题:题目中的“果”应该是“过”.
∵椭圆过点(1,√2/2), ∴1/a^2+(1/2)/b^2=1, ∴2b^2+a^2=2a^2b^2.
∵e=c/a=√2/2, ∴√(a^2-b^2)/a=√2/2, ∴(a^2-b^2)/a^2=1/2,
∴2a^2-2b^2=a^2, ∴a^2=2b^2.
联立:2b^2+a^2=2a^2b^2、a^2=2b^2,消去a,得:2b^2+2b^2=4b^4, ∴b^2=1.
将b^2=1代入a^2=2b^2中,得:a^2=2.
∴满足条件的椭圆方程为x^2/2+y^2=1.
第二个问题:题目中的“切”应该是“且”.
令AB的中点为D.
改写直线方程,得:y=x+M.
∵A、B都在直线y=x+M上, ∴可令A、B的坐标分别是(m,m+M)、(n,n+M).
联立:x^2/2+y^2=1、x-y+M=0,消去y,得:x^2/2+(x+M)^2=1,
x^2+2x^2+4Mx+2M^2-2=0, ∴3x^2+4Mx+2M^2-2=0. 显然,m、n是该方程的根,
∴由韦达定理,有:m+n=4M/3.
由中点坐标公式,容易得出:AB的中点坐标为D(2M/3,5M/3).
∵D不在圆x^2+y^2=5/9内, ∴OD≧√5/3, ∴√[(2M/3)^2+(5M/3)^2]≧√5/3,
∴√29|M|≧√5, ∴|M|≧√5/√29=√145/29, ∴M≦-√145/29, 或M≧√145/29.
∴满足条件的M的取值范围是(-∞,-√145/29)∪(√145/29,+∞).