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设f(x)是定义在R上的函数,且对任何x1,x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),若f(0)≠0,f'(

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 11:39:20
设f(x)是定义在R上的函数,且对任何x1,x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),若f(0)≠0,f'(0)=1
证明:对任何x∈R,都有f(x)=f'(x)
设f(x)是定义在R上的函数,且对任何x1,x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),若f(0)≠0,f'(
证明:
在f(x1+x2)=f(x1)*f(x2)中令x1=x2=0, 若f(0)≠0, 则f(0)=1.
f'(x)=lim (t->0) ( f(x+t)-f(x))/t
=lim (t->0) ( f(x)f(t)-f(x))/t
=f(x) * lim (t->0) ( f(t)-1)/t
=f(x) * lim (t->0) ( f(t)-f(0))/t
=f(x) * f(0)=f(x).