在任意四边形ABCD中,求证：ABCD+ADBC>=AC*BD,并指出取等号条件.以任意△ABC三边AB,BC,CA

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/11 21:34:21

在任意四边形ABCD中,求证：AB*CD+AD*BC>=AC*BD,并指出取等号条件.以任意△ABC三边AB,BC,CA分别向外作正

这道题就是托勒密定理及其推广的证明.
托勒密定理：圆内接四边形ABCD,求证:AB*CD+AD*BC=AC*BD.
证明：
先画一个圆,内接四边形ABCD
连接AC,BD
在BD 上找一点M
作∠BAM=∠CAD
因为 ∠ABD=∠ACD
所以三角形ABM 相似于三角形ACD
AB/BM=AC/CD 变形
AB*CD=AC*BM
而且 ∠MAD=∠BAC 又因为 ∠ADM=∠ACB
所以三角形ADM 相似于三角形ACB
AD/DM=AC/CB 变形
AD*BC=AC*DM
所以 AD*BC+AB*CD=(DM+BM)*AC=AC*BD.
定理的推广:凸四边形ABCD中,有AB*CD+AD*BC>=AC*BD,仅当四边形内接于圆时等号成立.
证明：
作角ABM=角ACD,角BAM=角CAD,由△ABM相似于△ACD,AB*CD=AC*BM,AB/AM=AC/AD,又角CAB=角DAM,故△ABC相似于△AMD,得
AD*BC=AC*MD,两式相加得AB*CD+AD*BC=AC*(BM+MD)>=AC*BD,仅当M在BD上时等号成立,这时角ABD=角ACD,即四边形是圆内接四边形.

在任意四边形ABCD中,求证：AB*CD+AD*BC>=AC*BD,并指出取等号条件.以任意△ABC三边AB,BC,CA 在任意四边形ABCD中,求证：AB*CD+AD*BC>=AC*BD,并指出取等号条件. 在空间四边形abcd中,AC=BC,AD=BD,求证：ab垂直于cd 在空间四边形ABCD中,AC=BC,AD=BD,求证AB垂直于CD 在空间四边形ABCD中AC=BC,AD=BD,求证AB垂直CD 在空间四边形ABCD中,AC=BC,AD=BD,求证,AB⊥CD 已知:在空间四边形ABCD中,AC=AD,BC=BD,求证:AB⊥CD 在空间四边形ABCD中,AB=BC,AD=CD,求证AC垂直BD 对任意四边形ABCD中,有AB·CD+AD·BC+CA·BD=0 已知,在四边形ABCD中,AB=CD,AC=BD,AD≠BC,求证：四边形ABCD为等腰梯形在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,且2AD²=BD²+CD².求证：△ABC是在空间四边形ABCD中,AB⊥CD,BC⊥AD.求证:AC⊥BD