抛物线的公式过点M(p/2,0)作直线与抛物线y^2=2px交与A,B两点,则1/AM+1/BM=2/p,这个公式如何证
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/24 09:27:01
抛物线的公式
过点M(p/2,0)作直线与抛物线y^2=2px交与A,B两点,则1/AM+1/BM=2/p,这个公式如何证明?
过点M(p/2,0)作直线与抛物线y^2=2px交与A,B两点,则1/AM+1/BM=2/p,这个公式如何证明?
首先,因为过点M的直线与抛物线y^2=2px交于两点,则此直线不可能平行于y轴,故而,我们可以假设过点M的直线方程为y=a(x-p/2).
将此直线方程代入抛物线方程,我们得到交点A(x1,y1)、B(x2,y2)满足如下等式:
(1) a^2*x^2 - (2+a^2)p*x + p^2*a^2/4 = 0
(2) y1^2 = 2p*x1
(3) y2^2 = 2p*x2
而根据线段的定义,AM = √(x1-p/2)^2+y1^2,BM = √(x2-p/2)^2+y2^2.
利用等式(2)(3),我们知道x1,x2≥0,并且AM = √(x1-p/2)^2+2p*x1 = x1+p/2,BM = √(x2-p/2)^2+2p*x2 = x2+p/2.
所以,1/AM+1/BM = 1/(x1+p/2) + 1/(x2+p/2).
通分后,我们得到1/AM+1/BM = (x1+x2+p)/[(x1*x2+x1+x2+p^2/4)].
针对等式(1)利用二次方程维达定理,x1+x2=(2+a^2)p/a^2,x1*x2=p^2/4.
代入1/AM+1/BM,可得,1/AM+1/BM = ((2+a^2)p/a^2+p)/[(2+a^2)p^2/2a^2+p^2/2] = 2/p.
将此直线方程代入抛物线方程,我们得到交点A(x1,y1)、B(x2,y2)满足如下等式:
(1) a^2*x^2 - (2+a^2)p*x + p^2*a^2/4 = 0
(2) y1^2 = 2p*x1
(3) y2^2 = 2p*x2
而根据线段的定义,AM = √(x1-p/2)^2+y1^2,BM = √(x2-p/2)^2+y2^2.
利用等式(2)(3),我们知道x1,x2≥0,并且AM = √(x1-p/2)^2+2p*x1 = x1+p/2,BM = √(x2-p/2)^2+2p*x2 = x2+p/2.
所以,1/AM+1/BM = 1/(x1+p/2) + 1/(x2+p/2).
通分后,我们得到1/AM+1/BM = (x1+x2+p)/[(x1*x2+x1+x2+p^2/4)].
针对等式(1)利用二次方程维达定理,x1+x2=(2+a^2)p/a^2,x1*x2=p^2/4.
代入1/AM+1/BM,可得,1/AM+1/BM = ((2+a^2)p/a^2+p)/[(2+a^2)p^2/2a^2+p^2/2] = 2/p.
抛物线的公式过点M(p/2,0)作直线与抛物线y^2=2px交与A,B两点,则1/AM+1/BM=2/p,这个公式如何证
已知:斜率为1的直线l过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点
已知过点(0,4),斜率为-1的直线l与抛物线C;y平方=2px(p>0)交于A,B两点.(1)求
已知抛物线y^2=2px(p>0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A、B,abs AB
抛物线问题:若过点M(0,4),且斜率为(-1)的直线l与抛物线C:y^2=2px(p>0)交于A、B两点,
过定点P(1,4)作直线交抛物线C:y=2x2于A、B两点,过A、B分别作抛物线C的切线交于点M,则点M的轨迹方程为__
7.过抛物线y*2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45度的直线交抛物线与A,B两点,若线段AB的长为8,求抛物线的标
如图,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线与x轴交于M点,过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点.
已知直线l过点M(4,0)且与抛物线y的平方=2px(p>0)交于A、B两点,以炫AB为直径的圆恒过坐标原点O.求抛物线
过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点的直线l与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若点M(2,m)满足向
过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,求OA*OB
已知过抛物线y^2=2px(p大于0)的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点,求证:1/|FA|+1/|FB|=2/p