已知在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,DF平分∠ADC交线段AE于F.若AE=AD,AF+BE=CD是否成立?若成

已知在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,DF平分∠ADC交线段AE于F.若AE=AD,AF+BE=CD是否成立?若成立,对你
已知在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,DF平分∠ADC交线段AE于F.
若AE=AD,AF+BE=CD是否成立?
若成立,对你的结论加以证明,若不成立,请说明理由.

【分析】
（1）①延长EA到G,使得AG=BE,连接DG,根据四边形ABCD是平行四边形,推出AB=CD,AB∥CD,AD=BC,求出∠DAG=90°=∠GAD,根据SAS证△ABE≌△DAG,推出DG=AB=CD,∠1=∠2,求出∠AFD=∠GDF,推出DG=GF=AF+AG即可；
②与（1）证法类似,根据SAS证△ABE≌△DAG,推出DG=AB=CD,∠1=∠2,求出∠GFD=∠GDF,推出DG=GF=AF+AG即可；
（2）延长EA到G,使得BE/AG=a/b,连接DG,根据两边对应成比例,且夹角相等,两三角形相似,推出△ABE∽△DAG,推出∠1=∠2,DG=AB,代入即可求出答案.
】（1）①CD=AF+BE
理由是：延长EA到G,使得AG=BE,连接DG
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD,AB∥CD,AD=BC
∵AE⊥BC于点E
∴∠AEB=∠AEC=90°
∴∠AEB=∠DAE=90°
∴∠DAG=90°
在△ABE和△DGA中AD=AE,∠GAD=∠AEB,BE=AG
∴△ABE≌△DGA
∴DG=AB=CD,∠1=∠2
∵平行四边形ABCD,AE⊥BC
∴∠B=∠ADC=60°,AE⊥AD
∴∠1=∠2=30°
∵DF平分∠ADC
∴∠3=∠4=30°
∴∠AFD=60°=∠GDF
∴DG=GF=AF+AG
∴CD=AB=DG=AF+BE
即CD=AF+BE
②
（1）中的结论仍然成立
证明：
延长EA到G,使得AG=BE,连接DG
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD,AB∥CD,AD=BC
∵AE⊥BC于点E
∴∠AEB=∠AEC=90°
∴∠AEB=∠DAG=90°
∴∠DAG=90°
在△ABE和△DAG中
AD=AE,∠GAD=∠AEB,BE=AG
∴△ABE≌△DAG
∴∠1=∠2,DG=AB,∠B=∠G
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B=∠ADC
∵∠B+∠1=∠ADC+∠2=90°,∠3=∠4
∴∠GDF=90°-∠4,∠GFD=90°-∠3
∴∠GDF=∠GFD
∴GF=GD=AB=CD
∵GF=AF+AG=AF+AE
∴CD=AF+BE
（2）
bCD=aAF+bBE
理由是：延长EA到G,使得BE/AG=a/b
连接DG,即AG=(b/a)BE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD,AB∥CD,AD=BC
∵AE⊥BC于点E
∴∠AEB=∠AEC=90°
∴∠AEB=∠DAG=90°
∴∠DAG=90°
即∠AEB=∠GAD=90°
∵AE/AD=BE/AG=a/b
∴△ABE∽△DAG
∴∠1=∠2,AB/DG=a/b
∴∠GFD=90°-∠3
∵DF平分∠ADC
∴∠3=∠4
∴∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180°-∠FAD-∠3=90°-∠3
∴∠GDF=∠GFD
∴DG=GF
∵AB/DG=a/b,AB=CD（已证）∴bCD=aDG=a[(b/a)BE+AF]
即 bCD=aAF+bBE．