已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（ab）=af（b）+bf（a）．

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/22 09:56:26

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（ab）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0）及f（1）的值；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f（2）=2，u_n=

f(2

（1）令a=b=0，代入得f（0）=0•f（0）+0•f（0）=0．
令a=b=1，代入得f（1）=1•f（1）+1•f（1），则f（1）=0．
（2）∵f（1）=f[（-1）²]=-f（-1）-f（-1）=0，∴f（-1）=0．
令a=-1，b=x，则f（-x）=f（-1•x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），
因此f（x）是奇函数．
（3）因为un+1＝
f(2n+1)
2n+1＝
f(2•2n)
2n+1＝
2f(2n)+2nf(2)
2n+1＝
f(2n)
2n+
f(2)
2=u_n+1，即u_n+1-u_n=1，所以{u_n}是等差数列．又首项u1＝
f(2)
2＝1，公差为1，
所以a_n=n，Sn＝
n(n+1)
2．