有没有这样的函数?函数（假设定义域是全体实数）处处可导,但是导数任何地方不连续.如果没有的话，也要说下原因。回复楼下：可

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 17:08:28

有没有这样的函数?
函数（假设定义域是全体实数）处处可导,但是导数任何地方不连续.
如果没有的话，也要说下原因。
回复楼下：
可导的前提是原函数连续，不代表导函数连续。
反正很容易可以构造一个可导但导数不连续的，比如
y=x^2sin(1/x)当x不等于0，y=0当x等于0.
此函数符合连续，而且导出处处存在，但是在x=0时候导数不连续。用定义去套一下就知道了。
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楼下能不能仔细阅读题目再给出答复啊？
回复雨石88：我上面举的例子岂不在0附近取得再小也是不连续的？一次函数不用说啊。我要找有没有存在这样的函数，不是要找反例。
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回复frank:
恩,我也是这么想,不过做过一些小研究,看到cantor staircase function在整个cantor set(不可数且无孤点)上不连续.
但没有找到直接回答我问题的答案.

说说我的理解吧,首先我们知道有“处处连续但处处不可导”的函数,这个Weierstrass已近构造出来了,假如仿照Weierstrass的构造方式,打算从函数项级数的角度构造“处处可导但导数处处不连续”的例子的话是不可行的,因为假如存在的话,那么根据函数项级数的逐项求导定理,要求各项求导后的级数一致收敛于右边的导函数,既然一致收敛的话,再根据函数项级数的连续性定理,知道这个右边的导函数是连续的.
进一步我考虑的是Riemann函数,尽管这个函数处处不连续,但它是Riemann可积的,并且积分后的函数是连续的,但问题是原函数不连续的话积分就不可微了,所以也不行,更不用说用dirichlet函数来构造了.
我猜想一个结论是：存在函数在R上处处可导,但导数在R中某个局部不稠密的至多可列子集上不连续,也就是说导函数不连续的点是至多可列并且是离散分布的.这个应该可以做到,只要将你说的那个例子做光滑延拓就可以了.
但是我现在还没想到严格的证明方法说明“处处可导但导数处处不连续”的函数不存在.我觉得难点就在于,左右导数和左右极限的相互转化上.
如果你有证明或者构造出反例的话,也请告知!
回复楼主：
首先要指明你的一个小错误,那就是康拓阶梯函数在整个定义域上是连续函数,不能说它在康托集上是不连续的!因为我们这里的函数都是定义在实数域上的,连续性本身首先要求自变量的完整性,稠密甚至具有连续统的势都是不够的,而且康拓集不包含任何一个小邻域.除非你在康托集上定义拓扑,然后只在它上面定义函数,但是这与原问题就没有关系了.
另外,我认为考虑康拓阶梯函数也是不可行的,因为除了函数是定义在整个区间上,康拓集本身还是一个勒贝格零测集,只是稠密且具有连续统的势.这个函数的意义主要是找到了一个单调连续但是不满足牛顿-莱布尼茨公式的形式的一个例子,而且那个积分还是勒贝格积分,也就是说是在几乎处处意义下的.
从考虑riemann函数那里我就发现如果用积分构造函数的话是很难成功的,首先不能牵扯几乎处处这种概念,所以只能用riemann积分处理,但是riemann积分如果可微的话前提是原函数连续,所以.
我还是觉得这种函数不存在,证明的关键就是收敛的某种一致性特征,也许可以考虑下使用等度连续这种概念.
祝你能够研究出成果!

有没有这样的函数?函数（假设定义域是全体实数）处处可导,但是导数任何地方不连续.如果没有的话，也要说下原因。回复楼下：可函数在【a,b】上连续,在（a,b）可导,但是它的导数恒不等于0,是否可以说明该函数没有极值? 证明是否存在函数,满足：“处处可导,但导函数处处不连续的” 开区间上处处可导但导函数处处不连续的函数是否存在? 什么情况下函数可微,但是偏导数不连续? 处处可导的函数的一阶导数连续吗?为什么? 有没有处处极限存在但处处不连续的函数有没有一个不分段的增函数,其定义域（增区间）为全体实数,值域为全体正实数? 为什么数学上的光滑曲线不仅处处连续可导,导数也要处处连续可导函数处处可导但导函数却不连续求举个例子还有请问下如果某点可导那么此点的领域是否一定可导不行举反例 1：连续可导函数的导数一定连续吗? 连续可导函数的导数一定连续吗