已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex(a>0)的导函数y=f′(x)的两个零点为-3和0.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/23 06:40:27
已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex(a>0)的导函数y=f′(x)的两个零点为-3和0.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)的极小值为-1,求f(x)的极大值.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)的极小值为-1,求f(x)的极大值.
(Ⅰ)f'(x)=(2ax+b)ex+(ax2+bx+c)ex=[ax2+(2a+b)x+b+c]ex.
令g(x)=ax2+(2a+b)x+b+c,
∵ex>0,
∴y=f'(x)的零点就是g(x)=ax2+(2a+b)x+b+c的零点,且f'(x)与g(x)符号相同.
又∵a>0,
∴当x<-3,或x>0时,g(x)>0,即f'(x)>0,
当-3<x<0时,g(x)<0,即f'(x)<0,
∴f(x)的单调增区间是(-∞,-3),(0,+∞),单调减区间是(-3,0).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,x=0是f(x)的极小值点,
所以有
c=−1
b+c=0
9a−3(2a+b)+b+c=0
解得a=1,b=1,c=-1.
所以函数的解析式为f(x)=(x2+x-1)ex.
又由(Ⅰ)知,f(x)的单调增区间是(-∞,-3),(0,+∞),单调减区间是(-3,0).
所以,函数f(x)的极大值为f(−3)=(9−3−1)e−3=
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e3.
令g(x)=ax2+(2a+b)x+b+c,
∵ex>0,
∴y=f'(x)的零点就是g(x)=ax2+(2a+b)x+b+c的零点,且f'(x)与g(x)符号相同.
又∵a>0,
∴当x<-3,或x>0时,g(x)>0,即f'(x)>0,
当-3<x<0时,g(x)<0,即f'(x)<0,
∴f(x)的单调增区间是(-∞,-3),(0,+∞),单调减区间是(-3,0).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,x=0是f(x)的极小值点,
所以有
c=−1
b+c=0
9a−3(2a+b)+b+c=0
解得a=1,b=1,c=-1.
所以函数的解析式为f(x)=(x2+x-1)ex.
又由(Ⅰ)知,f(x)的单调增区间是(-∞,-3),(0,+∞),单调减区间是(-3,0).
所以,函数f(x)的极大值为f(−3)=(9−3−1)e−3=
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e3.
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