(2014•海淀区二模)如图,在三棱柱ABC-A1B1C中,AA1⊥底面ABC,AB⊥AC,AC=AA1,E、F分别是棱
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/26 05:15:03
(2014•海淀区二模)如图,在三棱柱ABC-A1B1C中,AA1⊥底面ABC,AB⊥AC,AC=AA1,E、F分别是棱BC、CC1的中点.
(Ⅰ)求证:AB⊥平面AA1 C1C;
(Ⅱ)若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1,试确定点D的位置,并说明理由;
(Ⅲ)证明:EF⊥A1C.
(Ⅰ)求证:AB⊥平面AA1 C1C;
(Ⅱ)若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1,试确定点D的位置,并说明理由;
(Ⅲ)证明:EF⊥A1C.
(I)证明:∵AA1⊥底面ABC,∴A1A⊥AB,(2分)
∵AB⊥AC,A1A∩AC=A,
∴AB⊥面A1CC1.(4分)
(II)∵面DEF∥面ABC1,面ABC∩面DEF=DE,
面ABC∩面ABC1=AB,
∴AB∥DE,(7分)
∵在△ABC中,E是棱BC的中点,
∴D是线段AC的中点.(8分)
(III)证明:∵三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=AC,
∴侧面A1ACC1是菱形,
∴A1C⊥AC1,(9分)
由(Ⅰ)得AB⊥A1C,
∵AB∩AC1=A,
∴A1C⊥面ABC1,(11分)
∴A1C⊥BC1.(12分)
又∵E,F分别为棱BC,CC1的中点,
∴EF∥BC1,(13分)
∴EF⊥AC1.(14分)
∵AB⊥AC,A1A∩AC=A,
∴AB⊥面A1CC1.(4分)
(II)∵面DEF∥面ABC1,面ABC∩面DEF=DE,
面ABC∩面ABC1=AB,
∴AB∥DE,(7分)
∵在△ABC中,E是棱BC的中点,
∴D是线段AC的中点.(8分)
(III)证明:∵三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=AC,
∴侧面A1ACC1是菱形,
∴A1C⊥AC1,(9分)
由(Ⅰ)得AB⊥A1C,
∵AB∩AC1=A,
∴A1C⊥面ABC1,(11分)
∴A1C⊥BC1.(12分)
又∵E,F分别为棱BC,CC1的中点,
∴EF∥BC1,(13分)
∴EF⊥AC1.(14分)
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如图,在直三棱柱ABC=A1B1C1中,∠ACB=90°,E,F,D分别是AA1,AC,BB1的中点,且CD⊥C1D.(