大师作文网求韦达定理的证明方法!
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 07:35:55
求韦达定理的证明方法!
就2次的韦达定理.
我了解到两种,一是用求根公式证明..二是把ax^2+bx+c=0 两边同除a,然后再用（x-x1）（x-x2）=0 展开,然后二式对比出来.
我相信肯定还有很多方法的~希望各位数学帝提供更多证明的方法~
就2次的韦达定理.
我了解到两种,一是用求根公式证明..二是把ax^2+bx+c=0 两边同除a,然后再用（x-x1）（x-x2）=0 展开,然后二式对比出来.
我相信肯定还有很多方法的~希望各位数学帝提供更多证明的方法~
令方程的两根分别是x1、x2.显然有：
ax1^2＋bx1＋c＝0、ax2^2＋bx2＋c＝0.两式相减,得：
a（x1^2－x2^2）＋b（x1－x2）＝0,∴a（x1－x2）（x1＋x2）＋b（x1－x2）＝0,
∴（x1－x2）［a（x1＋x2）＋b］＝0.
很明显,x1、x2不一定相等,∴需要：a（x1＋x2）＋b＝0,得：x1＋x2＝－b/a.
由ax1^2＋bx1＋c＝0、ax2^2＋bx2＋c＝0相加,得：
a（x1^2＋x2^2）＋b（x1＋x2）＋2c＝0,
∴a［（x1＋x2）^2－2x1x2］＋b（x1＋x2）＋2c＝0,
∴a［（－b/a）^2－2x1x2］＋b（－b/a）＋2c＝0,
∴b^2/a－2ax1x2－b^2/a＋2c＝0,∴ax1x2＝c,∴x1x2＝c/a.
∴若一元二次方程ax^2＋bx＋c＝0的两根为x1、x2,则：x1＋x2＝－b/a、x1x2＝c/a.
ax1^2＋bx1＋c＝0、ax2^2＋bx2＋c＝0.两式相减,得：
a（x1^2－x2^2）＋b（x1－x2）＝0,∴a（x1－x2）（x1＋x2）＋b（x1－x2）＝0,
∴（x1－x2）［a（x1＋x2）＋b］＝0.
很明显,x1、x2不一定相等,∴需要：a（x1＋x2）＋b＝0,得：x1＋x2＝－b/a.
由ax1^2＋bx1＋c＝0、ax2^2＋bx2＋c＝0相加,得：
a（x1^2＋x2^2）＋b（x1＋x2）＋2c＝0,
∴a［（x1＋x2）^2－2x1x2］＋b（x1＋x2）＋2c＝0,
∴a［（－b/a）^2－2x1x2］＋b（－b/a）＋2c＝0,
∴b^2/a－2ax1x2－b^2/a＋2c＝0,∴ax1x2＝c,∴x1x2＝c/a.
∴若一元二次方程ax^2＋bx＋c＝0的两根为x1、x2,则：x1＋x2＝－b/a、x1x2＝c/a.