已知正项数列{an}中a1=2 an^-an*a(n-1)-2n*a(n-1)-4n^2=0(n>=2,.∈N+)
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/07 09:20:51
已知正项数列{an}中a1=2 an^-an*a(n-1)-2n*a(n-1)-4n^2=0(n>=2,.∈N+)
一.求an的通项公式
二.设bn=1/a(n+1) + 1/a(n+2) + 1/a(n+3) +……+1/a2n 若对任意的正整数n,当m∈【-1,1】时,不等式t^2-2mt+1/6>bn 恒成立,求实数t的取值范围
一.求an的通项公式
二.设bn=1/a(n+1) + 1/a(n+2) + 1/a(n+3) +……+1/a2n 若对任意的正整数n,当m∈【-1,1】时,不等式t^2-2mt+1/6>bn 恒成立,求实数t的取值范围
(1)由递推关系有{an^2-ana(n-1)+[a(n-1)/2]^2}-{[a(n-1)/2]^2+2na(n-1)+(2n)^2}=0
即[an-a(n-1)/2]^2=[a(n-1)/2+2n]^2
即an-a(n-1)/2=±[a(n-1)/2+2n]
注意到an>0
则an-a(n-1)/2=a(n-1)/2+2n
即an-a(n-1)=2n
于是有(a2-a1)+(a3-a2)+...+[an-a(n-1)]=2(2+3+...+n)
即an-a1=(n-1)(n+2)
注意到a1=2
则an=n(n+1)
(2)由an=n(n+1)知1/an=1/n-1/(n+1)
则bn=[1/(n+1)-1/(n+2)]+[1/(n+2)-1/(n+3)]+...+[1/(2n)-1/(2n+1)]=1/(n+1)-1/(2n+1)
即bn=1/(2n+1/n+3)
因2n+1/n≥3(取等号时n=1)
则bn≤1/6,即bnmax=1/6
要使t^2-2mt+1/6>bn 恒成立
即使t^2-2mt+1/6>bnmax≥bn恒成立
即使t^2-2mt+1/6>1/6恒成立
即使t^2-2mt>0恒成立
若t=0
显然t^2-2mt=0,不满足条件
若t≠0
构造函数f(x)=t^2-2tx,x∈[-1,1]
要使t^2-2mt>0恒成立
即要在x∈[-1,1]上f(x)>0恒成立
当t0恒成立
则必有x∈[-1,1]上f(x)≥f(x)min>0
即有t^2+2t>0
注意到t0恒成立
则必有x∈[-1,1]上f(x)≥f(x)min>0
即有t^2-2t>0
注意到t>0解得t>2
综上,满足条件的t的取值范围为t2
即[an-a(n-1)/2]^2=[a(n-1)/2+2n]^2
即an-a(n-1)/2=±[a(n-1)/2+2n]
注意到an>0
则an-a(n-1)/2=a(n-1)/2+2n
即an-a(n-1)=2n
于是有(a2-a1)+(a3-a2)+...+[an-a(n-1)]=2(2+3+...+n)
即an-a1=(n-1)(n+2)
注意到a1=2
则an=n(n+1)
(2)由an=n(n+1)知1/an=1/n-1/(n+1)
则bn=[1/(n+1)-1/(n+2)]+[1/(n+2)-1/(n+3)]+...+[1/(2n)-1/(2n+1)]=1/(n+1)-1/(2n+1)
即bn=1/(2n+1/n+3)
因2n+1/n≥3(取等号时n=1)
则bn≤1/6,即bnmax=1/6
要使t^2-2mt+1/6>bn 恒成立
即使t^2-2mt+1/6>bnmax≥bn恒成立
即使t^2-2mt+1/6>1/6恒成立
即使t^2-2mt>0恒成立
若t=0
显然t^2-2mt=0,不满足条件
若t≠0
构造函数f(x)=t^2-2tx,x∈[-1,1]
要使t^2-2mt>0恒成立
即要在x∈[-1,1]上f(x)>0恒成立
当t0恒成立
则必有x∈[-1,1]上f(x)≥f(x)min>0
即有t^2+2t>0
注意到t0恒成立
则必有x∈[-1,1]上f(x)≥f(x)min>0
即有t^2-2t>0
注意到t>0解得t>2
综上,满足条件的t的取值范围为t2
.感激= 已知数列{an}中,a1=3,an=(2^n)*a(n-1) (n》2,n∈N*)求数列an通项公式
在数列{An}中,已知An+A(n+1)=2n (n∈N*)
已知数列an中,a1=1 2a(n+1)-an=n-2/n(n+1)(n+2) 若bn=an-1/n(n+1)
已知数列{an}中满足a1=1,a(n+1)=2an+1 (n∈N*),证明a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1
已知数列{An}中a1=1.且A(n+1)=6n*2^n-An.求通项公试An
数列证明,求通项公式已知数列{an}中,a1=1/3,an*a(n-1)=a(n-1)-an(n>=2,n属于正整数),
已知数列{an}中,a1=1,a(n+1)>an,且[a(n+1)-an]^2-2[a(n+1)+an]+1=0,则an
已知数列{an}中,a1=1,an+a(n+1)=2^n(n∈N*),bn=3an
在数列{an}中,a1=3,an=-a(n-1)-2n-1(n大等于2,且n属于N正)
已知数列 an 中,a1=1,3an*a(n-1)+an-a(n-1)=0(n大于等于2) 求an通项
数列{An}中,a1=2,a (n+1)=4an-3n+1,n为N*
已知在数列{an}中,a1=1,-2an+a(n-1)-1=0(n≥2,n∈N*)