求∫∫（x+y）dxdy 积分区域是D={(x+y)|x^2+y^2

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/16 22:13:07

$求∫∫（x+y）dxdy 积分区域是D={(x+y)|x^2+y^2$

这题的积分区域---圆域的圆心为（1/2,1/2),半径为√（2/3）.因为圆心非原点,所以用直角坐标还是极坐标,上下限都不好确定.所以应想到把圆域平移到原点处,即用坐标变换.
但二重积分的坐标变换涉及到雅克比公式,一般来说比较麻烦,而此题只是平移,不涉及旋转,变行之类得,所以可省去雅克比的过程.
令x=1/2+u,y=1/2+v,则积分圆域变为以（0,0）为圆心,以√（2/3）为半径.
而原积分=∫∫(1+u+z)dudv
又变换后的积分区域关于u轴和v轴都对称,且被积函数1+u+z关于u和v分别为奇函数
所以∫∫ududv=∫∫vdudv=0 故∫∫(1+u+z)dudv=∫∫dudv=变换后圆域面积=（3π） /2
但注意,平移的时候能像这样代入,因为雅克比行列式等于1,其他变换还要乘以雅克比行列式.

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