设f(x)在区间[-1,1]上有三阶连续函数,证明存在实数ξ∈(-1,1),使得f'''(ξ)/6=[f(1)-f(1)
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/08 03:30:41
设f(x)在区间[-1,1]上有三阶连续函数,证明存在实数ξ∈(-1,1),使得f'''(ξ)/6=[f(1)-f(1)]/2-f'(0)
证 :f(x)在区间[-1,1]上有三阶连续函数
将f(x) 分别在 (-1,0) 和(0,1) 上 二阶泰勒展开
f(1)=f(0) + f'(0) +f''(0)/2 +f'''(ξ1)/6 ,ξ1∈ (0,1)
f(-1)=f(0) - f'(0) +f''(0)/2 - f'''(ξ2)/6 ,ξ2∈ (0,1)
两式相减
f(1) - f(-1) = 2f'(0)+ 1/6(f'''(ξ1) + f'''(ξ2))
f(x)在区间[-1,1]上有三阶连续函数
由连续函数的性质 存在实数ξ∈(-1,1),
f'''(ξ) = 1/2(f'''(ξ1) + f'''(ξ2))
f(1) - f(-1) = 2f'(0)+ (1/3)*f'''(ξ)
即 f'''(ξ)/6 = [f(1)-f(-1)]/2-f'(0)
下面的这个性质在证明中常用
由连续函数的性质 存在实数ξ∈(-1,1),
f'''(ξ) = 1/2(f'''(ξ1) + f'''(ξ2))
将f(x) 分别在 (-1,0) 和(0,1) 上 二阶泰勒展开
f(1)=f(0) + f'(0) +f''(0)/2 +f'''(ξ1)/6 ,ξ1∈ (0,1)
f(-1)=f(0) - f'(0) +f''(0)/2 - f'''(ξ2)/6 ,ξ2∈ (0,1)
两式相减
f(1) - f(-1) = 2f'(0)+ 1/6(f'''(ξ1) + f'''(ξ2))
f(x)在区间[-1,1]上有三阶连续函数
由连续函数的性质 存在实数ξ∈(-1,1),
f'''(ξ) = 1/2(f'''(ξ1) + f'''(ξ2))
f(1) - f(-1) = 2f'(0)+ (1/3)*f'''(ξ)
即 f'''(ξ)/6 = [f(1)-f(-1)]/2-f'(0)
下面的这个性质在证明中常用
由连续函数的性质 存在实数ξ∈(-1,1),
f'''(ξ) = 1/2(f'''(ξ1) + f'''(ξ2))
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