大师作文网求一道高数题解.已知x不等于0,证明0
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/13 23:10:15
求一道高数题解.
已知x不等于0,证明0
已知x不等于0,证明0
证明：令f(x)=[arctan(e^x)-π/4]/x,则f(-x)={arctan[e^(-x)]-π/4}/(-x)=[π/2-arctan(e^x)-π/4]/(-x)=[arctan(e^x)-π/4]/x=f(x),故在定义域上,f(x)是偶函数.
只需考察x>0的情况即可.
一方面,当x>0时,e^x>1,arctan(e^x)>π/4,显然f(x)>0成立.
另一方面,当x>0时,f(x)单调递减,所以当x→0+时,函数极限满足0/0型,由L'Hospital法则有limf(x)=lim(e^x)/[1+e^(2x)]=1/2,所以f(x)0,二阶导数F''(x)=(e^x)*[1-e^(2x)]/[1+e^(2x)]^20是一条上单调递增的上凸曲线,在x→+∞时,limF(x)=π/2
所以,f(x)表示了曲线F(x)在x>0上任意一点与起始点(0,π/4)连线的斜率.既然曲线是“上凸曲线”,必然斜率f(x)是单调递减的了.
只需考察x>0的情况即可.
一方面,当x>0时,e^x>1,arctan(e^x)>π/4,显然f(x)>0成立.
另一方面,当x>0时,f(x)单调递减,所以当x→0+时,函数极限满足0/0型,由L'Hospital法则有limf(x)=lim(e^x)/[1+e^(2x)]=1/2,所以f(x)0,二阶导数F''(x)=(e^x)*[1-e^(2x)]/[1+e^(2x)]^20是一条上单调递增的上凸曲线,在x→+∞时,limF(x)=π/2
所以,f(x)表示了曲线F(x)在x>0上任意一点与起始点(0,π/4)连线的斜率.既然曲线是“上凸曲线”,必然斜率f(x)是单调递减的了.
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